Exercício 9 Seja X\) uma variável aleatória com f.d.p dada porr \[f_{X}(x)= \begin{cases}2 e^{-2 x}, & \text { se } x>0 \\\\ 0, & \text { se } x \leq 0\end{cases}
Determine a f.d.p das variáveis
(a) (Y=\sqrt{X}];

Passo 1

O enunciado dá a densidade de [X) e pede a densidade de Y=\sqrt{X}.
Informações fornecidas:
  • A função densidade de X é
f_{X}(x)= \begin{cases}2 e^{-2 x}, & \text{se } x>0, \\[4pt] 0, & \text{se } x\le 0.\end{cases}
  • Quer-se determinar a f.d.p. da variável (Y=\sqrt{X}].
O que é pedido:
  • Encontrar f_{Y}(y) para todos os y\in\mathbb{R}.]

Passo 2

Primeiro, obtenho a função de distribuição acumulada (F.d.A.) de X, porque a forma mais direta aqui é usar a relação entre as F.d.A.: F_{Y}(y)=P(Y\le y)=P(\sqrt{X}\le y)=P(X\le y^{2}) (quando isso faz sentido). Então preciso de F_X.
Para x>0,
F_X(x)=P(X\le x)=\int_{0}^{x} 2 e^{-2 t}\,dt.
Calculo essa integral passo a passo:
\int 2 e^{-2 t}\,dt = 2\cdot\left(-\tfrac{1}{2} e^{-2 t}\right) = -e^{-2 t},
portanto, avaliando de 0 a x,
F_X(x)=\bigl[-e^{-2 t}\bigr]_{0}^{x} = -e^{-2 x} -(-e^{0}) = 1 - e^{-2 x}.
Logo,
F_X(x)=\begin{cases}0, & x\le 0,\\[4pt] 1-e^{-2 x}, & x>0.\end{cases}]

Passo 3

Agora obtenho a F.d.A. de Y. Lembre que Y=\sqrt{X} só pode assumir valores \ge 0 (pois raiz quadrada real de X\ge0).
Para y\le 0 tem-se F_Y(y)=P(Y\le y)=0 porque Y\ge0.
Para y>0,
F_Y(y)=P(Y\le y)=P(\sqrt{X}\le y)=P(X\le y^{2})=F_X(y^{2}).
Como já achei F_X(x)=1-e^{-2 x} para x>0, substituo x=y^{2} (lembre que y^{2}>0 quando y>0):
F_Y(y)=1 - e^{-2 y^{2}},\qquad y>0.

Passo 4

Para obter a densidade f_Y eu derivo F_Y em relação a y. Explico a regra usada: se F_Y é diferenciável em y, então f_Y(y)=\dfrac{d}{dy}F_Y(y). Aqui F_Y(y)=0 para y\le0 e F_Y(y)=1-e^{-2 y^{2}} para y>0.
Calculo a derivada para y>0. Uso a regra da cadeia:
\frac{d}{dy}\bigl(e^{-2 y^{2}}\bigr)=e^{-2 y^{2}}\cdot\frac{d}{dy}(-2 y^{2})=e^{-2 y^{2}}\cdot(-4 y).
Portanto,
\frac{d}{dy}\bigl(1-e^{-2 y^{2}}\bigr)=4 y e^{-2 y^{2}},\qquad y>0.
Para y<0 a derivada é 0 (pois F_Y é constante ali). No ponto y=0 podemos definir f_Y(0)=0 (o valor pontual não altera a densidade em sentido de medida).
Assim
f_Y(y)=\begin{cases}4 y e^{-2 y^{2}}, & y>0,\\[4pt] 0, & y\le 0.\end{cases}]

Passo 5

Verificação rápida de normalização (para ter certeza de que a densidade está correta). Calculo
\int_{0}^{\infty}4 y e^{-2 y^{2}}\,dy.
Faço a substituição u=2 y^{2}, então du=4 y\,dy. Quando y vai de 0 a \infty, u vai de 0 a \infty. Assim
\int_{0}^{\infty}4 y e^{-2 y^{2}}\,dy = \int_{0}^{\infty} e^{-u}\,du = 1.
Portanto a função encontrada é uma densidade válida.

Resposta

f_{Y}(y)=\begin{cases}4 y e^{-2 y^{2}}, & \text{se } y>0,\\[4pt] 0, & \text{se } y\le 0.\end{cases}]

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