Exercício 9 Seja
Determine a f.d.p das variáveis
(a) (Y=\sqrt{X}];
(a) (Y=\sqrt{X}];
Passo 1
O enunciado dá a densidade de [X) e pede a densidade de
.
Informações fornecidas:
- A função densidade de
é
- Quer-se determinar a f.d.p. da variável (Y=\sqrt{X}].
O que é pedido:
- Encontrar
para todos os .]
Passo 2
Primeiro, obtenho a função de distribuição acumulada (F.d.A.) de
, porque a forma mais direta aqui é usar a relação entre as F.d.A.:
(quando isso faz sentido). Então preciso de
.
Para
,
Calculo essa integral passo a passo:
portanto, avaliando de
a
,
Logo,
Passo 3
Agora obtenho a F.d.A. de
. Lembre que
só pode assumir valores
(pois raiz quadrada real de
).
Para
tem-se
porque
.
Para
,
Como já achei
para
, substituo
(lembre que
quando
):
Passo 4
Para obter a densidade
eu derivo
em relação a
. Explico a regra usada: se
é diferenciável em
, então
. Aqui
para
e
para
.
Calculo a derivada para
. Uso a regra da cadeia:
Portanto,
Para
a derivada é
(pois
é constante ali). No ponto
podemos definir
(o valor pontual não altera a densidade em sentido de medida).
Assim
Passo 5
Verificação rápida de normalização (para ter certeza de que a densidade está correta). Calculo
Faço a substituição
, então
. Quando
vai de
a
,
vai de
a
. Assim
Portanto a função encontrada é uma densidade válida.