Exercício 9 Seja X\) uma variável aleatória com f.d.p dada porr
\[f_{X}(x)= \begin{cases}2 e^{-2 x}, & \text { se } x>0 \\\\ 0, & \text { se } x \leq 0\end{cases}
Determine a f.d.p das variáveis
(b) (Y=1 / X].
Passo 1
O enunciado dá a densidade de X\):
\[f_X(x)=\begin{cases}2e^{-2x}, & \text{se } x>0,\\[4pt] 0,& \text{se } x\le 0.\end{cases}
Pede para determinar a densidade da variável Y\] definida por \(Y=1/X.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
X é contínua com suporte (0,\infty).
A transformação é Y=h(X)=1/X.
O objetivo: achar f_Y(y) para todo y\in\mathbb{R}.]
Passo 2
Vamos aprender a técnica que usaremos (muito útil na prova): transformação monotônica de variável aleatória contínua. Se Y=h(X) e h é bijetora e diferenciável numa região onde ocorre probabilidade, a densidade de Y é dada por
h^{-1}(y) é a inversa da transformação, isto é, o valor de x que produz y.
\left|\dfrac{d}{dy}h^{-1}(y)\right| é o valor absoluto da derivada da inversa — ele aparece porque ao mudar de variável a “espessura” dos intervalos muda (jacobiano unidimensional).
Essa fórmula apenas reexpressa a conservação de probabilidades: f_Y(y)\,dy = f_X(x)\,dx com x=h^{-1}(y) e dx = (dh^{-1}/dy)\,dy.
Exemplo rápido e simples para fixar: se Y=2X, então h^{-1}(y)=y/2 e |(h^{-1})'(y)|=1/2. Logo f_Y(y)=f_X(y/2)\cdot\frac{1}{2}.
Passo 3
Aplique a técnica ao nosso caso Y=1/X.
Primeiro encontre a inversa: se y=1/x então x=1/y. Assim h^{-1}(y)=1/y.
O valor absoluto é \left|\dfrac{d}{dy}h^{-1}(y)\right|=\dfrac{1}{y^{2}}.
Precaução sobre domínio: como X>0 quase certamente, a transformação y=1/x produz y>0. Portanto o suporte de Y é (0,\infty). Para y\le 0 a densidade deve ser zero.
Portanto a função encontrada é de fato uma densidade válida.
Passo 6
Resumo prático para a prova (dica amiga): quando tiver Y=g(X) com g monotônica, sempre ache g^{-1}, calcule |(g^{-1})'(y)| e multiplique por f_X(g^{-1}(y)). Verifique o suporte transformando o suporte de X pela função g.