Exercício 10. Verificar, em cada um dos itens abaixo, se o operador T \in \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{3}\right), dado pela sua matriz em relação à base canônica \mathcal{B}, é diagonalizável.
T]_{\mathcal{B}}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\\ m & 2 & 0 \\\ n & 0 & 2\end{array}\right)\), para quaisquer \(m, n \in \mathbb{R}\).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o operador linear T\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3, dado pela matriz
[T]_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\ m & 2 & 0\\\ n & 0 & 2 \end{pmatrix},
é diagonalizável, isto é, se existe uma base de \mathbb{R}^3 formada por autovetores de T. Para isso, vamos calcular os autovalores, suas multiplicidades algébrica e geométrica, e verificar se a soma das dimensões dos autoespaços é 3.

Passo 2

Calcular o polinômio característico
\chi_T(\lambda) =\det\bigl([T]_{\mathcal{B}}-\lambda I\bigr) =\det \begin{pmatrix} 1-\lambda & 0 & 0\\\ m & 2-\lambda & 0\\\ n & 0 & 2-\lambda \end{pmatrix}.
Como a matriz é triangular por blocos,
\chi_T(\lambda)=(1-\lambda)\,(2-\lambda)\,(2-\lambda)=(1-\lambda)\,(2-\lambda)^2.

Passo 3

Os autovalores vêm das raízes de \chi_T(\lambda):
\lambda_1=1\quad(\text{multiplicidade algébrica }1), \qquad \lambda_2=2\quad(\text{multiplicidade algébrica }2).éé

Passo 4

Determinar o autoespaço de \lambda=2:
\ker(T-2I) =\ker \begin{pmatrix} 1-2 & 0 & 0\\\ m & 2-2 & 0\\\ n & 0 & 2-2 \end{pmatrix} =\ker \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0\\\ m & 0 & 0\\\ n & 0 & 0 \end{pmatrix}.
As equações são -x_1=0 (e m x_1=0,\;n x_1=0 que se reduzem a x_1=0), enquanto x_2 e x_3 ficam livres. Logo
\dim\ker(T-2I)=2,
igual à multiplicidade algébrica de 2.

Passo 5

Determinar o autoespaço de \lambda=1:
\ker(T-I) =\ker \begin{pmatrix} 1-1 & 0 & 0\\\ m & 2-1 & 0\\\ n & 0 & 2-1 \end{pmatrix} =\ker \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\\ m & 1 & 0\\\ n & 0 & 1 \end{pmatrix}.
As equações são
m\,x_1 + x_2 = 0, \quad n\,x_1 + x_3 = 0,
de modo que um vetor genérico em \ker(T-I) é
\bigl(x_1,\,-m x_1,\,-n x_1\bigr) com x_1\neq0. Assim
\dim\ker(T-I)=1,
igual à multiplicidade algébrica de 1.

Passo 6

Como a soma das dimensões dos autoespaços é
\dim\ker(T-I)+\dim\ker(T-2I)=1+2=3,
que é a dimensão total de \mathbb{R}^3, concluímos que há uma base de \mathbb{R}^3 formada por autovetores de T. Portanto T é diagonalizável.

Resposta

O operador T é diagonalizável para quaisquer valores de m,n\in\mathbb{R}.

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