Exercício 10. Verificar, em cada um dos itens abaixo, se o operador T \in \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{3}\right), dado pela sua matriz em relação à base canônica \mathcal{B}, é diagonalizável.
T]_{\mathcal{B}}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\\ m & 2 & 0 \\\ n & 0 & 2\end{array}\right)\), para quaisquer \(m, n \in \mathbb{R}\).
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o operador linear T\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3, dado pela matriz
[T]_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\ m & 2 & 0\\\ n & 0 & 2 \end{pmatrix},
é diagonalizável, isto é, se existe uma base de \mathbb{R}^3 formada por autovetores de T. Para isso, vamos calcular os autovalores, suas multiplicidades algébrica e geométrica, e verificar se a soma das dimensões dos autoespaços é 3.