Exercício 12. Verificar se a matriz A é diagonalizável. Caso seja, determinar a matriz M que diagonaliza A e calcular M^{-1} A M.
A=\left(\begin{array}{ll}2 & 4 \\\\ 3 & 1\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz \r
A = \begin{pmatrix}2 & 4 \\\\ 3 & 1\end{pmatrix}\r
é diagonalizável. Isso envolve achar os autovalores e autovetores de A, montar a matriz M cujas colunas sejam esses autovetores, e então calcular M^{-1}AM.

Passo 2

Vamos calcular o polinômio característico de A. Por definição, \r
\chi_A(\lambda) = \det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix}2-\lambda & 4 \\\\ 3 & 1-\lambda\end{pmatrix} = (2-\lambda)(1-\lambda) - 4\cdot3.\r
Expandindo, \r
\chi_A(\lambda) = \lambda^2 - 3\lambda - 10.\r
As raízes desse polinômio são obtidas por fórmula de Bhaskara: \r
\lambda = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2} = \frac{3 \pm 7}{2},\r
logo \r
\lambda_1 = 5,\quad \lambda_2 = -2.

Passo 3

Agora achamos um autovetor para cada autovalor.\r
\r
Para \lambda_1 = 5: resolvemos \r
(A - 5I)v = 0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix}-3 & 4 \\\\ 3 & -4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}.\r
A equação -3x+4y=0 y = \tfrac{3}{4}x. Tomando x=4, um autovetor correspondente é \r
v_1 = \begin{pmatrix}4\\\ 3\end{pmatrix}.\r
\r
Para \lambda_2 = -2: resolvemos \r
(A + 2I)v = 0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix}4 & 4 \\\\ 3 & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}.\r
A equação 4x+4y=0 y = -x. Tomando x=1, um autovetor é \r
v_2 = \begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix}.

Passo 4

Como temos dois autovalores distintos em \mathbb{R}, A é diagonalizável. Montamos \r
M = \bigl[v_1\;v_2\bigr] = \begin{pmatrix}4 & 1\\\ 3 & -1\end{pmatrix}.\r
O inverso de M é \r
\det M = 4\cdot(-1) - 3\cdot1 = -7,\quad M^{-1} = \frac{1}{-7}\begin{pmatrix}-1 & -1 \\\\ -3 & 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1/7 & 1/7 \\\\ 3/7 & -4/7\end{pmatrix}.

Passo 5

Finalmente, como M foi formada por autovetores, vale \r
M^{-1} A M = \begin{pmatrix}5 & 0\\\ 0 & -2\end{pmatrix},\r
que é a matriz diagonal cujas entradas são os autovalores de A.

Resposta

A matriz A é diagonalizável. Podemos tomar \r
M = \begin{pmatrix}4 & 1\\\ 3 & -1\end{pmatrix},\qquad M^{-1} = \begin{pmatrix}1/7 & 1/7\\\ 3/7 & -4/7\end{pmatrix},\r
e então \r
M^{-1} A M = \begin{pmatrix}5 & 0\\\ 0 & -2\end{pmatrix}.

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