Exercício 12. Verificar se a matriz A é diagonalizável. Caso seja, determinar a matriz M que diagonaliza A e calcular M^{-1} A M.
A=\left(\begin{array}{ll}9 & 1 \\\\ 4 & 6\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = \begin{pmatrix}9 & 1 \\\\ 4 & 6\end{pmatrix}
e pede para verificar se A é diagonalizável. Caso seja, precisamos encontrar uma matriz M cujas colunas sejam autovetores de A e então calcular M^{-1}AM. O conteúdo envolve o cálculo de autovalores, autovetores e a construção da diagonalização.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A e achamos seus autovalores.
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix}9-\lambda & 1\\[4pt]4 & 6-\lambda\end{pmatrix} = (9-\lambda)(6-\lambda) - 4 = \lambda^2 - 15\lambda + 50.
As raízes de \lambda^2 -15\lambda +50=0 são
\lambda = \frac{15 \pm \sqrt{225 -200}}{2} = \frac{15 \pm 5}{2},
logo \lambda_1 = 10 e \lambda_2 = 5. Como os autovalores são distintos, concluímos que A é diagonalizável.]

Passo 3

Para cada autovalor, achamos um autovetor não-nulo resolvendo (A - \lambda I)x=0.
Para \lambda_1 = 10:
(A - 10I)x = \begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt]4 & -4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\x_2\end{pmatrix} = 0 \;\Longrightarrow\; -x_1 + x_2 = 0 \;\Longrightarrow\; x = \begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}.
Para \lambda_2 = 5:
(A - 5I)x = \begin{pmatrix}4 & 1\\[4pt]4 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\x_2\end{pmatrix} = 0 \;\Longrightarrow\; 4x_1 + x_2 = 0 \;\Longrightarrow\; x = \begin{pmatrix}1\\\ -4\end{pmatrix}.
Os dois autovetores são linearmente independentes, confirmando a diagonalização.]

Passo 4

Formamos a matriz M cujas colunas são esses autovetores na ordem \lambda_1, \lambda_2:
M = \begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & -4\end{pmatrix}.]

Passo 5

Calculamos \det M e M^{-1}.
\det M = 1\cdot(-4) - 1\cdot1 = -5,
M^{-1} = \frac{1}{\det M} \begin{pmatrix}-4 & -1\\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix} = -\frac15 \begin{pmatrix}-4 & -1\\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4/5 & 1/5\\[4pt]1/5 & -1/5\end{pmatrix}.]

Passo 6

Usando a propriedade de que colunas de M são autovetores, obtemos diretamente
M^{-1}AM = \begin{pmatrix}10 & 0\\[4pt]0 & 5\end{pmatrix}.]

Resposta

A matriz A é diagonalizável.
M = \begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & -4\end{pmatrix}, \qquad M^{-1}AM = \begin{pmatrix}10 & 0\\[4pt]0 & 5\end{pmatrix}.]

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