Exercício 102. Calcule \int_{C} \frac{z}{x^{2}+y^{2}} d s, onde C é parametrizada por \alpha:[0,2 \pi] \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \alpha(t)= (\cos (t), \operatorname{sen}(t), t).
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C}\frac{z}{x^{2}+y^{2}}\,ds,
onde a curva C é dada pela parametrização \alpha:[0,2\pi]\to\mathbb{R}^{3},
A variável de parâmetro é t no intervalo [0,2\pi].
As coordenadas ao longo de C são x=\cos t, y=\sin t, z=t.
A função a integrar ao longo de C é f(x,y,z)=\dfrac{z}{x^{2}+y^{2}}.
O elemento de comprimento de arco é ds, que será expresso em termos de t.
Passo 2
Lembrando a definição prática de integral de uma função escalar ao longo de uma curva parametrizada: se f é uma função definida na curva \alpha(t) para t\in[a,b], então
Aqui \big\|\alpha'(t)\big\| é a norma do vetor derivada \alpha'(t) e transforma o dt no elemento de comprimento ds. Vou aplicar exatamente essa fórmula.
Passo 3
Calcular \alpha'(t) derivando componente a componente:
\alpha'(t)=(-\sin t,\cos t,1).
Agora calcular a norma \big\|\alpha'(t)\big\|. Primeiro a norma ao quadrado: