Exercício 102. Calcule \int_{C} \frac{z}{x^{2}+y^{2}} d s, onde C é parametrizada por \alpha:[0,2 \pi] \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \alpha(t)= (\cos (t), \operatorname{sen}(t), t).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C}\frac{z}{x^{2}+y^{2}}\,ds,
onde a curva C é dada pela parametrização \alpha:[0,2\pi]\to\mathbb{R}^{3},
\alpha(t)=(\cos t,\sin t,t),\qquad 0\le t\le 2\pi.
Informações relevantes que temos:
  • A variável de parâmetro é t no intervalo [0,2\pi].
  • As coordenadas ao longo de C são x=\cos t, y=\sin t, z=t.
  • A função a integrar ao longo de C é f(x,y,z)=\dfrac{z}{x^{2}+y^{2}}.
  • O elemento de comprimento de arco é ds, que será expresso em termos de t.

Passo 2

Lembrando a definição prática de integral de uma função escalar ao longo de uma curva parametrizada: se f é uma função definida na curva \alpha(t) para t\in[a,b], então
\int_{C} f\,ds = \int_{a}^{b} f(\alpha(t))\,\big\|\alpha'(t)\big\|\,dt.
Aqui \big\|\alpha'(t)\big\| é a norma do vetor derivada \alpha'(t) e transforma o dt no elemento de comprimento ds. Vou aplicar exatamente essa fórmula.

Passo 3

Calcular \alpha'(t) derivando componente a componente:
\alpha'(t)=(-\sin t,\cos t,1).
Agora calcular a norma \big\|\alpha'(t)\big\|. Primeiro a norma ao quadrado:
\big\|\alpha'(t)\big\|^{2}=(-\sin t)^{2}+(\cos t)^{2}+1^{2}=\sin^{2}t+\cos^{2}t+1.
Usando a identidade trigonométrica \sin^{2}t+\cos^{2}t=1 obtemos
\big\|\alpha'(t)\big\|^{2}=1+1=2.
Portanto
\big\|\alpha'(t)\big\|=\sqrt{2},
que é constante ao longo da curva. (Explicação curta: a componente no plano xy tem norma 1, e o incremento em z adiciona mais 1 ao quadrado.)

Passo 4

Avaliar a função f sobre a parametrização: substituindo x=\cos t, y=\sin t, z=t,
f(\alpha(t))=\frac{z}{x^{2}+y^{2}}=\frac{t}{\cos^{2}t+\sin^{2}t}.
Novamente pela identidade trigonométrica \cos^{2}t+\sin^{2}t=1, temos
f(\alpha(t))=\frac{t}{1}=t.
Ou seja, ao longo da curva a função que estamos integrando reduz-se simplesmente a t.

Passo 5

Agora montar a integral usando a fórmula do Passo 2:
\int_{C}\frac{z}{x^{2}+y^{2}}\,ds=\int_{0}^{2\pi} f(\alpha(t))\,\big\|\alpha'(t)\big\|\,dt =\int_{0}^{2\pi} t\cdot\sqrt{2}\,dt.
Factorizando \sqrt{2} (constante),
\int_{0}^{2\pi} t\cdot\sqrt{2}\,dt=\sqrt{2}\int_{0}^{2\pi} t\,dt.

Passo 6

Calcular a integral simples de t:
\int_{0}^{2\pi} t\,dt=\left[\frac{t^{2}}{2}\right]_{0}^{2\pi}=\frac{(2\pi)^{2}}{2}-0=\frac{4\pi^{2}}{2}=2\pi^{2}.
Multiplicando por \sqrt{2} obtemos o valor final:
\sqrt{2}\cdot 2\pi^{2}=2\pi^{2}\sqrt{2}.

Resposta

2\pi^{2}\sqrt{2}

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