Exercício 19. Mostre que M times N é orientável se, e somente se, ambas M e N são orientáveis.

Passo 1

O enunciado pede para provar a seguinte equivalência:
“M times N é orientável se, e somente se, M e N são ambas orientáveis.”
O conteúdo aqui é a definição de orientabilidade via atlas orientado (isto é, atlas cujas mudanças de carta têm determinante positivo). Para resolver, vamos usar ( 1) a construção do atlas produto e ( 2) o fato de que em mudanças de cartas produto a jacobiana é bloco-diagonal.

Passo 2

Suponha que M e N sejam orientáveis. Então existem atlas orientados
A=(Ui,varphii) em M e B=(Vj,psij) em N, isto é, para quaisquer i,i' e j,j' temos
detl(D(varphii'circvarphii^-1)r)>0, detl(D(psij'circpsij^-1)r)>0
No produto consideramos o atlas
Atimes B = , (,Uitimes Vj,;varphiitimespsij),
Dados dois elementos (Uitimes Vj,varphiitimespsij) e (Ui'times Vj',varphii'timespsij'), a mudança de carta é
(varphii'timespsij')circ(varphiitimespsij)^-1 (x,y) = l(varphii'circvarphii^-1(x),;psij'circpsij^-1(y)r)
Como a derivada dessa aplicação é bloco-diagonal, sua determinante é o produto
detl(D(varphii'circvarphii^-1)r) cdot detl(D(psij'circpsij^-1)r),
que é positivo por hipótese. Logo Atimes B é um atlas orientado em Mtimes N, isto é, Mtimes N é orientável.

Passo 3

Agora suponha que Mtimes N seja orientável e que C=(Wk,chik) seja um atlas orientado em Mtimes N. Para mostrar que M é orientável, fazemos o seguinte:
1. Escolha uma carta fixa (V,psi) de N qualquer.
2. Para cada carta (Wk,chik) tal que Wkcap (Mtimes V)neqemptyset, escreva
Wkcap (Mtimes V)=Uktimes V e chik|Uktimes V=varphiktimespsi
Isso define uma coleção de cartas (Uk,varphik) em M.
3. Se pegarmos duas dessas cartas (Uk,varphik) e (Uk',varphik'), elas vêm de
(Uktimes V,varphiktimespsi) e (Uk'times V,varphik'timespsi) em C. A mudança de carta no produto tem determinante positivo, mas como o bloco que atua em V é a identidade (jacobiana igual a 1), sobra
detl(D(varphik'circvarphik^-1)r)>0
Portanto (Uk,varphik) é um atlas orientado em M, mostrando que M é orientável.
Analogamente, fixando uma carta de M em vez de uma de N, obtemos um atlas orientado em N, logo N é orientável.

Passo 4

Reunindo as duas direções, provamos que
Mtimes N;é orientável Long<=ftrightarrow M;e;N;são orientáveis éáãá

Resposta

Mostramos as duas implicações usando atlas orientados e a estrutura bloco-diagonal das mudanças de carta no produto. Portanto Mtimes N é orientável se, e somente se, M e N são orientáveis.

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