Exercício 19. Mostre que
é orientável se, e somente se, ambas
e
são orientáveis.
Passo 1
O enunciado pede para provar a seguinte equivalência:
“M N é orientável se, e somente se, M e N são ambas orientáveis.”
O conteúdo aqui é a definição de orientabilidade via atlas orientado (isto é, atlas cujas mudanças de carta têm determinante positivo). Para resolver, vamos usar ( ) a construção do atlas produto e (
) o fato de que em mudanças de cartas produto a jacobiana é bloco-diagonal.
“M
O conteúdo aqui é a definição de orientabilidade via atlas orientado (isto é, atlas cujas mudanças de carta têm determinante positivo). Para resolver, vamos usar (
Passo 2
Suponha que M e N sejam orientáveis. Então existem atlas orientados
em M e
em N, isto é, para quaisquer
e
temos
No produto consideramos o atlas
Dados dois elementos
e
, a mudança de carta é
Como a derivada dessa aplicação é bloco-diagonal, sua determinante é o produto
que é positivo por hipótese. Logo
é um atlas orientado em
, isto é,
é orientável.
Passo 3
Agora suponha que
seja orientável e que
seja um atlas orientado em
. Para mostrar que M é orientável, fazemos o seguinte:
. Escolha uma carta fixa
de N qualquer.
. Para cada carta
tal que
, escreva
Isso define uma coleção de cartas
em M.
. Se pegarmos duas dessas cartas
e
, elas vêm de
e
em
. A mudança de carta no produto tem determinante positivo, mas como o bloco que atua em
é a identidade (jacobiana igual a
), sobra
Portanto
é um atlas orientado em M, mostrando que M é orientável.
Analogamente, fixando uma carta de M em vez de uma de N, obtemos um atlas orientado em N, logo N é orientável.
Analogamente, fixando uma carta de M em vez de uma de N, obtemos um atlas orientado em N, logo N é orientável.
Passo 4
Reunindo as duas direções, provamos que
Resposta
Mostramos as duas implicações usando atlas orientados e a estrutura bloco-diagonal das mudanças de carta no produto. Portanto
é orientável se, e somente se, M e N são orientáveis.