(Vídeo 4) Fatore os polinômios:
x^5+4 x^4-4 x^3-34 x^2-45 x-18

Passo 1

O enunciado pede para fatorar o polinômio x^5+4x^4-4x^3-34x^2-45x-18. O conteúdo principal é fatoração de polinômios, e vamos usar o Teorema das raízes racionais junto com divisão sintética.

Passo 2

Pelo Teorema das raízes racionais, as raízes possíveis são os divisores de 18, ou seja, pm1,pm2,pm3,pm6,pm9,pm18. Testamos esses valores para encontrar raízes inteiras.

Passo 3

Ao testar x=-1, temos (-1)^5+4(-1)^4-4(-1)^3-34(-1)^2-45(-1)-18=0, logo x=-1 é raiz. Dividindo sinteticamente por x+1 duas vezes, descobrimos que ela é raiz dupla e o quociente se reduz ao polinômio cúbico x^3+2x^2-9x-18.

Passo 4

Agora trabalhamos o cúbico x^3+2x^2-9x-18. Testando x=3, vemos que ele zera o polinômio, então x-3 é fator. Dividindo sinteticamente por x-3 obtemos o quadrático x^2+5x+6.

Passo 5

Finalmente, o quadrático x^2+5x+6 fatora como (x+2)(x+3), pois precisamos de dois números com soma 5 e produto 6. Combinando tudo, obtemos a factorização completa.

Resposta

(x+1)^2(x-3)(x+2)(x+3)

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