(Vídeo 4) Fatore os polinômios:
x^4+10 x^3+36 x^2+54 x+27

Passo 1

Resumo: Temos o polinômio x^4 + 10x^3 + 36x^2 + 54x + 27. O objetivo é fatorar esse polinômio quebrando em fatores de grau menor, usando decomposição em quadráticas e depois em lineares.

Passo 2

Para começar, assumimos que ele se fatora como (x^2 + p x + q)(x^2 + r x + s). Comparando coeficientes, obtemos o sistema:
p + r = 10
q + s + p r = 36
p s + q r = 54
q s = 27

Passo 3

Como q s = 27 e queremos números inteiros positivos, testamos pares para (q,s). Tomando q = 3 e s = 9, a equação p s + q r = 54 vira 9p + 3r = 54, isto é, 3p + r = 18. Já temos p + r = 10.

Passo 4

Resolvendo o sistema p + r = 10,;3p + r = 18 subtraindo a primeira equação da segunda, vem 2p = 8, logo p = 4 e r = 6. Isso também satisfaz q + s + p r = 3 + 9 + 4 cdot 6 = 36. Assim o polinômio fatora como (x^2 + 4x + 3)(x^2 + 6x + 9).

Passo 5

Finalmente, fatoramos as quadráticas: x^2 + 4x + 3 = (x + 1)(x + 3) e x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2. Portanto o polinômio original fica (x+1)(x+3)^3.

Resposta

(x+1)(x+3)^3

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