Exercício 11: Calcule as derivadas das funções.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a sua derivada.
Informações relevantes: a função é
Informações relevantes: a função é
O que nos pedem: encontrar
, a derivada de
em função de
.
Passo 2
Vamos recordar duas regras fundamentais que vamos usar (explicadas de forma bem direta):
onde
é uma constante (um número) e
é uma função de
. Isso diz que se uma função é um número multiplicando outra função, a derivada é esse número multiplicando a derivada da outra função. Exemplo simples:
.
ou seja, para uma composição, derivamos a função externa
avaliada na interna
e multiplicamos pela derivada da função interna
. Um caso importante e muito utilizado é quando
. Nesse caso
pois a derivada de
em relação a
é
.
Passo 3
Reescrevo a função destacando o fator constante
:
Pelo item (i) (regra do fator constante), a derivada será
vezes a derivada de
. Então precisamos calcular
.
Passo 4
Identifico a composição para usar a regra da cadeia: aqui a função externa é
e a interna é
. Vou calcular a derivada da interna primeiro:
porque a derivada de uma função linear
é o coeficiente
.
Passo 5
Agora aplico a regra da cadeia ao caso
:
Ou seja, a derivada de
é
. (Isto é um resultado padrão: a derivada de
é
.)
Passo 6
Voltando ao fator constante
do passo 3 e multiplicando pelo resultado do passo 5, obtemos para
: