Exercício 11: Calcule as derivadas das funções.
f(x)=-e^{5 x}

Passo 1

O enunciado dá a função -e^{5 x} e pede para calcular a sua derivada.
Informações relevantes: a função é
f(x) = -e^{5 x}.
O que nos pedem: encontrar f'(x), a derivada de f em função de x.

Passo 2

Vamos recordar duas regras fundamentais que vamos usar (explicadas de forma bem direta):
\text{(i) Regra do fator constante:}\quad \frac{d}{dx}\big(c\cdot g(x)\big)=c\cdot g'(x),
onde c é uma constante (um número) e g é uma função de x. Isso diz que se uma função é um número multiplicando outra função, a derivada é esse número multiplicando a derivada da outra função. Exemplo simples: \frac{d}{dx}(3x^2)=3\cdot\frac{d}{dx}(x^2)=3\cdot 2x=6x.
\text{(ii) Regra da cadeia:}\quad \frac{d}{dx}\big(F(g(x))\big)=F'(g(x))\cdot g'(x),
ou seja, para uma composição, derivamos a função externa F avaliada na interna g(x) e multiplicamos pela derivada da função interna g'(x). Um caso importante e muito utilizado é quando F(u)=e^{u}. Nesse caso
\frac{d}{dx}\big(e^{g(x)}\big)=e^{g(x)}\cdot g'(x),
pois a derivada de e^{u} em relação a u é e^{u}.

Passo 3

Reescrevo a função destacando o fator constante -1:
f(x) = -1\cdot e^{5 x}.
Pelo item (i) (regra do fator constante), a derivada será -1 vezes a derivada de e^{5x}. Então precisamos calcular \frac{d}{dx}\big(e^{5x}\big).

Passo 4

Identifico a composição para usar a regra da cadeia: aqui a função externa é F(u)=e^{u} e a interna é g(x)=5x. Vou calcular a derivada da interna primeiro:
g(x)=5x \quad\Rightarrow\quad g'(x)=5,
porque a derivada de uma função linear a x é o coeficiente a.

Passo 5

Agora aplico a regra da cadeia ao caso e^{g(x)}:
\frac{d}{dx}\big(e^{5x}\big)=e^{5x}\cdot g'(x)=e^{5x}\cdot 5.
Ou seja, a derivada de e^{5x} é 5e^{5x}. (Isto é um resultado padrão: a derivada de e^{a x} é a e^{a x}.)

Passo 6

Voltando ao fator constante -1 do passo 3 e multiplicando pelo resultado do passo 5, obtemos para f'(x):
f'(x) = -1 \cdot \big(5 e^{5x}\big) = -5 e^{5x}.

Resposta

-5 e^{5x}

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