Exercício 11: Calcule as derivadas das funções.
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas da função dada. Informações fornecidas: a função é
. Não há outras condições explícitas. A tarefa principal é obter as derivadas (pelo menos a primeira; vou também mostrar como obter derivadas de ordem superior, caso precise na prova).
Passo 2
Primeira fórmula útil: a derivada da exponencial natural com argumento igual à variável é ela mesma. Em notação,
Significado: quando a função é
, sua taxa de variação em qualquer ponto é exatamente o valor da função naquele ponto.
Passo 3
Segunda ferramenta: regra da cadeia (para funções compostas). Se temos uma função composta
, a derivada em relação a
é dada por
Explicando as peças:
é a função externa (aquela aplicada por último),
é a função interna (aquela aplicada primeiro).
é a derivada da função externa avaliada no valor
, e
é a derivada da função interna em relação a
. Intuitivamente, a variação total é a variação externa por variação interna multiplicada pela variação interna por
.
Passo 4
Identificação para o nosso caso: a função
é uma composição do tipo
com
e
Agora calcule
. Como
é uma função linear, a derivada é a constante que multiplica
:
(Sempre que você tiver
com
constante, tem
.)
Passo 5
Aplicando a regra da cadeia: a derivada de
é a derivada da função externa avaliada em
, multiplicada por
. Como
, obtemos
Passo a passo: primeiro achamos a derivada da parte interna (
), depois escrevemos a exponencial com o mesmo expoente (
) e multiplicamos.
Passo 6
Derivadas de ordem maior (padrão e atalho): note que a derivada de
voltou a ser uma exponencial multiplicada por uma constante. Se derivarmos novamente, aplicamos a mesma regra e multiplicamos de novo por
. Assim,
Em geral, a derivada de ordem
é
Isso é útil se a prova pedir derivadas de ordem superior — basta multiplicar por
a cada diferenciação.