Exercício 11: Calcule as derivadas das funções.
h(x)=e^{50 x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas da função dada. Informações fornecidas: a função é h(x)=e^{50 x}. Não há outras condições explícitas. A tarefa principal é obter as derivadas (pelo menos a primeira; vou também mostrar como obter derivadas de ordem superior, caso precise na prova).

Passo 2

Primeira fórmula útil: a derivada da exponencial natural com argumento igual à variável é ela mesma. Em notação,
\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.
Significado: quando a função é e^{x}, sua taxa de variação em qualquer ponto é exatamente o valor da função naquele ponto.

Passo 3

Segunda ferramenta: regra da cadeia (para funções compostas). Se temos uma função composta f(u(x)), a derivada em relação a x é dada por
\frac{d}{dx}f(u(x))=f'(u(x))\cdot u'(x).
Explicando as peças: f é a função externa (aquela aplicada por último), u(x) é a função interna (aquela aplicada primeiro). f'(u(x)) é a derivada da função externa avaliada no valor u(x), e u'(x) é a derivada da função interna em relação a x. Intuitivamente, a variação total é a variação externa por variação interna multiplicada pela variação interna por x.

Passo 4

Identificação para o nosso caso: a função h(x)=e^{50 x} é uma composição do tipo f(u(x)) com
f(t)=e^{t}\quad\text{(função externa)}çã
e
u(x)=50x\quad\text{(função interna)}.çã
Agora calcule u'(x). Como u(x)=50x é uma função linear, a derivada é a constante que multiplica x:
u'(x)=50.
(Sempre que você tiver u(x)=a x com a constante, tem u'(x)=a.)

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia: a derivada de h é a derivada da função externa avaliada em u(x), multiplicada por u'(x). Como \frac{d}{dt}e^{t}=e^{t}, obtemos
h'(x)=u'(x)\cdot e^{u(x)}=50\cdot e^{50 x}.
Passo a passo: primeiro achamos a derivada da parte interna ( 50), depois escrevemos a exponencial com o mesmo expoente ( e^{50x}) e multiplicamos.

Passo 6

Derivadas de ordem maior (padrão e atalho): note que a derivada de h voltou a ser uma exponencial multiplicada por uma constante. Se derivarmos novamente, aplicamos a mesma regra e multiplicamos de novo por 50. Assim,
h''(x)=50\cdot \big(50 e^{50 x}\big)=50^{2}e^{50 x}=2500e^{50 x}.
Em geral, a derivada de ordem n é
h^{(n)}(x)=50^{n}e^{50 x}.
Isso é útil se a prova pedir derivadas de ordem superior — basta multiplicar por 50 a cada diferenciação.

Resposta

h'(x)=50e^{50 x}
h''(x)=2500e^{50 x}

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