Exercício 9: Calcule as derivadas.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações relevantes que o enunciado dá:
Observação importante: a função não está definida em
porque há divisão por
. Logo a derivada também não fará sentido em
. A tarefa é encontrar
para
.
Passo 2
Escolha do método: vamos usar uma técnica bem direta e básica — transformar a expressão em potências de
(com expoentes negativos) e aplicar a regra da potência. Justificativa: é mais simples e mais rápido do que aplicar a regra do quociente, exige menos conta e evita risco de erro na prova. Se quiser, dá para checar depois com a regra do quociente — ambos dão o mesmo resultado.
A regra que vamos usar (explicando passo a passo):
Regra da potência: para qualquer constante real ,
Regra da potência: para qualquer constante real
Isto significa: pego o expoente
, multiplico a função por esse número e reduzo o expoente em uma unidade. Essa regra vale também quando
é negativo (como no nosso caso), desde que
.
Também usamos a linearidade da derivada:
onde
é constante.
Passo 3
Reescrevendo a função em potências de
. Faço divisão termo a termo:
Agora uso a regra das potências para dividir
-expoentes:
. Então
Portanto
Passo 4
Aplico a regra da potência termo a termo. Para cada termo
a derivada é
.
Derivada do primeiro termo:
Derivada do segundo termo:
Somando as derivadas:
Passo 5
Simplifico a expressão para uma forma mais enxuta como fração. Fatoro
(ou seja,
):
Voltando para fração com potências positivas:
Lembrete: essa forma é válida para
, que é o domínio onde a função original e sua derivada existem.