Exercício 9: Calcule as derivadas.
f(x)=\frac{5 x-3}{x^{3}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\frac{5x-3}{x^{3}}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
\text{função: }f(x)=\frac{5x-3}{x^{3}}.çã
Observação importante: a função não está definida em x=0 porque há divisão por x^{3}. Logo a derivada também não fará sentido em x=0. A tarefa é encontrar f'(x) para x\neq 0.

Passo 2

Escolha do método: vamos usar uma técnica bem direta e básica — transformar a expressão em potências de x (com expoentes negativos) e aplicar a regra da potência. Justificativa: é mais simples e mais rápido do que aplicar a regra do quociente, exige menos conta e evita risco de erro na prova. Se quiser, dá para checar depois com a regra do quociente — ambos dão o mesmo resultado.
A regra que vamos usar (explicando passo a passo):
Regra da potência: para qualquer constante real n,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1}.
Isto significa: pego o expoente n, multiplico a função por esse número e reduzo o expoente em uma unidade. Essa regra vale também quando n é negativo (como no nosso caso), desde que x\neq 0.
Também usamos a linearidade da derivada:
\frac{d}{dx}\bigl(a\cdot g(x)\bigr)=a\cdot g'(x) \quad\text{e}\quad \frac{d}{dx}\bigl(g(x)+h(x)\bigr)=g'(x)+h'(x),
onde a é constante.

Passo 3

Reescrevendo a função em potências de x. Faço divisão termo a termo:
\frac{5x-3}{x^{3}}=\frac{5x}{x^{3}}-\frac{3}{x^{3}}.
Agora uso a regra das potências para dividir x-expoentes: x^{1}/x^{3}=x^{1-3}=x^{-2}. Então
\frac{5x}{x^{3}}=5x^{-2} \quad\text{e}\quad \frac{3}{x^{3}}=3x^{-3}.
Portanto
f(x)=5x^{-2}-3x^{-3}.

Passo 4

Aplico a regra da potência termo a termo. Para cada termo a x^{n} a derivada é a n x^{n-1}.
Derivada do primeiro termo:
\frac{d}{dx}\bigl(5x^{-2}\bigr)=5\cdot(-2)x^{-3}=-10x^{-3}.
Derivada do segundo termo:
\frac{d}{dx}\bigl(-3x^{-3}\bigr)=-3\cdot(-3)x^{-4}=9x^{-4}.
Somando as derivadas:
f'(x)=-10x^{-3}+9x^{-4}.

Passo 5

Simplifico a expressão para uma forma mais enxuta como fração. Fatoro x^{-4} (ou seja, 1/x^{4}):
-10x^{-3}+9x^{-4}=x^{-4}\bigl(-10x+9\bigr).
Voltando para fração com potências positivas:
x^{-4}\bigl(-10x+9\bigr)=\frac{-10x+9}{x^{4}}=\frac{9-10x}{x^{4}}.
Lembrete: essa forma é válida para x\neq 0, que é o domínio onde a função original e sua derivada existem.

Resposta

f'(x)=\frac{9-10x}{x^{4}}

Exercícios relacionados