Exercício 11: Calcule as derivadas das funções.
g(x)=e^{2 x}+2 x

Passo 1

O enunciado pede: calcular as derivadas da função
g(x)=e^{2x}+2x.
Informações dadas:
\text{a função }g(x)\text{ é a soma de duas parcelas: }e^{2x}\text{ e }2x.çãé
Perguntas que vamos responder: encontrar a(s) derivada(s) pedida(s) da função g. Neste problema vou calcular a derivada primeira g'(x) e, por completude, a derivada segunda g''(x).

Passo 2

Conceito rápido e intuitivo de derivada (pra gente que está com pressa na prova): a derivada de uma função em um ponto mede a inclinação da reta tangente à curva naquele ponto — ou seja, quão rápido a função muda quando x muda. Operacionalmente, usamos regras para calcular derivadas sem ter que voltar à definição limite toda vez.

Passo 3

Regra importante que vamos usar: a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja, se
h(x)=f(x)+k(x),
então
h'(x)=f'(x)+k'(x).
Isso nos permite tratar cada parcela de g(x) separadamente: derivamos e^{2x} e derivamos 2x e somamos os resultados.

Passo 4

Outra regra-chave: derivada de e^{u(x)} (exponencial composta) usa a regra da cadeia. A regra da cadeia diz:
\text{se }H(x)=F(U(x))\text{ então }H'(x)=F'(U(x))\cdot U'(x).ã
Aqui F é a função externa e U é a função interna; F'(U(x)) é a derivada da externa avaliada na interna e multiplicamos pela derivada da interna. No nosso caso, F(t)=e^{t} e U(x)=2x.

Passo 5

Derivada da função exponencial simples: para F(t)=e^{t} vale
F'(t)=e^{t}.
Ou seja, a derivada de e^{t} em relação a t é ela mesma. Aplicando a regra da cadeia com U(x)=2x, obtemos:
primeiro identifique U(x)=2x e calcule sua derivada
U'(x)=\frac{d}{dx}(2x)=2.
Agora aplique a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\big(e^{2x}\big)=e^{2x}\cdot 2.
Podemos escrever isso ordenando o fator constante na frente:
\frac{d}{dx}\big(e^{2x}\big)=2e^{2x}.

Passo 6

Derivada da parcela linear 2x: regra básica para função linear a x é que sua derivada é o coeficiente a. Em termos práticos,
\frac{d}{dx}(2x)=2.
Explicando rapidinho: a inclinação de uma reta y=2x é constante igual a 2, então sua derivada é 2.

Passo 7

Agora juntamos as parcelas usando a regra da soma (Passo 3). Assim a derivada de g(x) é a soma das derivadas que achamos:
g'(x)=\frac{d}{dx}\big(e^{2x}\big)+\frac{d}{dx}(2x)=2e^{2x}+2.

Passo 8

Se quisermos a derivada segunda g''(x) (derivada de g'(x)), derivamos novamente. Derivando termo a termo:
\frac{d}{dx}\big(2e^{2x}\big)=2\cdot\frac{d}{dx}\big(e^{2x}\big).
Do Passo 5 sabemos que \frac{d}{dx}\big(e^{2x}\big)=2e^{2x}, então
\frac{d}{dx}\big(2e^{2x}\big)=2\cdot 2e^{2x}=4e^{2x}.
E a derivada de 2 é zero, porque constantes derivam para zero:
\frac{d}{dx}(2)=0.
Portanto
g''(x)=4e^{2x}+0=4e^{2x}.

Resposta

g'(x)=2e^{2x}+2
g''(x)=4e^{2x}

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