Exercício 11: Calcule as derivadas das funções.
Passo 1
O enunciado pede: calcular as derivadas da função
Informações dadas:
Perguntas que vamos responder: encontrar a(s) derivada(s) pedida(s) da função
. Neste problema vou calcular a derivada primeira
e, por completude, a derivada segunda
.
Passo 2
Conceito rápido e intuitivo de derivada (pra gente que está com pressa na prova): a derivada de uma função em um ponto mede a inclinação da reta tangente à curva naquele ponto — ou seja, quão rápido a função muda quando
muda. Operacionalmente, usamos regras para calcular derivadas sem ter que voltar à definição limite toda vez.
Passo 3
Regra importante que vamos usar: a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja, se
então
Isso nos permite tratar cada parcela de
separadamente: derivamos
e derivamos
e somamos os resultados.
Passo 4
Outra regra-chave: derivada de
(exponencial composta) usa a regra da cadeia. A regra da cadeia diz:
Aqui
é a função externa e
é a função interna;
é a derivada da externa avaliada na interna e multiplicamos pela derivada da interna. No nosso caso,
e
.
Passo 5
Derivada da função exponencial simples: para
vale
Ou seja, a derivada de
em relação a
é ela mesma. Aplicando a regra da cadeia com
, obtemos:
primeiro identifique e calcule sua derivada
primeiro identifique
Agora aplique a regra da cadeia:
Podemos escrever isso ordenando o fator constante na frente:
Passo 6
Derivada da parcela linear
: regra básica para função linear
é que sua derivada é o coeficiente
. Em termos práticos,
Explicando rapidinho: a inclinação de uma reta
é constante igual a
, então sua derivada é
.
Passo 7
Agora juntamos as parcelas usando a regra da soma (Passo 3). Assim a derivada de
é a soma das derivadas que achamos:
Passo 8
Se quisermos a derivada segunda
(derivada de
), derivamos novamente. Derivando termo a termo:
Do Passo 5 sabemos que
, então
E a derivada de
é zero, porque constantes derivam para zero:
Portanto