Exercício 11: Calcule as derivadas das funções.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a sua derivada
.
Informações relevantes do enunciado:
Informações relevantes do enunciado:
- A função é composta: há uma parte externa
e uma parte interna . - A variável independente é
. - A tarefa é encontrar a expressão de
válida para todos os .
Passo 2
Vamos recordar a fórmula que usamos para derivar uma função composta. Se tivermos uma função
, então a derivada em relação a
é dada por
Explicando cada parte dessa fórmula:
-
é a função interna (no nosso caso ). -
é a derivada da função interna em relação a . - O fator
vem do fato conhecido de que a derivada de em relação a é . Aqui foi substituído por .
Essa regra é chamada de regra da cadeia: primeiro derivamos a função externa avaliando-a na interna, depois multiplicamos pela derivada da interna.
Passo 3
Identificamos a interna e calculamos sua derivada. Defina
A derivada de uma função linear
é o coeficiente
. Portanto
Breve justificativa: a derivada mede a inclinação; a reta
tem inclinação constante
, logo a derivada é
.
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula da cadeia com
,
e
:
Organizando o resultado:
Passo 5
Pequena verificação intuitiva: em
temos
, então
. Isso faz sentido porque
tem máximo local em
(a função
tem máximo em
), então a derivada ser zero ali é coerente. Vai ajudando a confiar no resultado.