Exercício 11: Calcule as derivadas das funções.
f(x)=\cos (6 x)

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\cos(6x) e pede para calcular a sua derivada f'(x).
Informações relevantes do enunciado:
  • A função é composta: há uma parte externa \cos(\cdot) e uma parte interna 6x.
  • A variável independente é x.
  • A tarefa é encontrar a expressão de f'(x) válida para todos os x.

Passo 2

Vamos recordar a fórmula que usamos para derivar uma função composta. Se tivermos uma função y=\cos(u(x)), então a derivada em relação a x é dada por
\frac{dy}{dx} = -\sin\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Explicando cada parte dessa fórmula:
  • u(x) é a função interna (no nosso caso u(x)=6x).
  • u'(x) é a derivada da função interna em relação a x.
  • O fator -\sin\bigl(u(x)\bigr) vem do fato conhecido de que a derivada de \cos(t) em relação a t é -\sin(t). Aqui t foi substituído por u(x).
    Essa regra é chamada de regra da cadeia: primeiro derivamos a função externa avaliando-a na interna, depois multiplicamos pela derivada da interna.

Passo 3

Identificamos a interna e calculamos sua derivada. Defina
u(x)=6x.
A derivada de uma função linear u(x)=a x é o coeficiente a. Portanto
u'(x)=6.
Breve justificativa: a derivada mede a inclinação; a reta 6x tem inclinação constante 6, logo a derivada é 6.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula da cadeia com y=\cos(u(x)), u(x)=6x e u'(x)=6:
f'(x)= -\sin\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x) = -\sin\bigl(6x\bigr)\cdot 6.
Organizando o resultado:
f'(x) = -6\sin(6x).

Passo 5

Pequena verificação intuitiva: em x=0 temos \sin(0)=0, então f'(0)=-6\sin(0)=0. Isso faz sentido porque f(x)=\cos(6x) tem máximo local em x=0 (a função \cos tem máximo em 0), então a derivada ser zero ali é coerente. Vai ajudando a confiar no resultado.

Resposta

-6\sin(6x)

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