Exercício 11: Calcule as derivadas das funções.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações relevantes fornecidas:
- A função é a composição de uma função trigonométrica
com uma função linear . - A tarefa é encontrar
, ou seja, a derivada de em função de .
Passo 2
Conceito e ferramenta principal que vamos usar (explicação didática e simples): a Regra da Cadeia. Quando temos uma função composta
onde
é a função exterior e
é a função interior, a Regra da Cadeia diz que a derivada é
Explicando em palavras: a variação de
em relação a
é a variação da função exterior em relação à sua entrada (avaliada na entrada
) multiplicada pela variação da entrada
em relação a
. Pense que você mede primeiro quanto a função externa muda por causa da mudança na entrada e depois quanto a entrada muda quando
varia. Calma, é só multiplicar as duas derivadas.
Passo 3
Aplicando a ideia da Regra da Cadeia ao nosso caso: identifique a função exterior e a interior.
- Função exterior:
. Aqui usei a letra para não confundir com . - Função interior:
.
Agora vamos precisar das derivadas de cada uma separadamente.
Passo 4
Derivada da função exterior
.
É uma regra básica de derivadas trigonométricas que
É uma regra básica de derivadas trigonométricas que
Significado: a taxa de variação da função seno em relação ao seu argumento
é o cosseno de
. (Se estiver com dúvida, memorize: derivada do seno é cosseno.)
Passo 5
Derivada da função interior
.
A função é linear e a derivada de em relação a
é simplesmente a constante
. Logo,
A função é linear e a derivada de
Explicando: para uma reta com inclinação
, a variação por unidade de
é
.
Passo 6
Agora aplicamos a Regra da Cadeia. Usando
e
, obtemos
Voltando a
, isso fica
Passo 7
Pequeno reforço para fixar: sempre que você tiver
com
constante, a derivada é
Exemplo rápido:
. Isso ajuda a reconhecer o padrão na prova e a fazer rápido sem errar.