Exercício 11: Calcule as derivadas das funções.
h(x)=\operatorname{sen}(4 x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
h(x)=\operatorname{sen}(4x).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é a composição de uma função trigonométrica \operatorname{sen}(\cdot) com uma função linear 4x.
  • A tarefa é encontrar h'(x), ou seja, a derivada de h em função de x.

Passo 2

Conceito e ferramenta principal que vamos usar (explicação didática e simples): a Regra da Cadeia. Quando temos uma função composta
f(x)=g(u(x)),
onde g é a função exterior e u(x) é a função interior, a Regra da Cadeia diz que a derivada é
f'(x)=g'\big(u(x)\big)\cdot u'(x).
Explicando em palavras: a variação de f em relação a x é a variação da função exterior em relação à sua entrada (avaliada na entrada u(x)) multiplicada pela variação da entrada u(x) em relação a x. Pense que você mede primeiro quanto a função externa muda por causa da mudança na entrada e depois quanto a entrada muda quando x varia. Calma, é só multiplicar as duas derivadas.

Passo 3

Aplicando a ideia da Regra da Cadeia ao nosso caso: identifique a função exterior e a interior.
  • Função exterior: g(t)=\operatorname{sen}(t). Aqui usei a letra t para não confundir com x.
  • Função interior: u(x)=4x.
Agora vamos precisar das derivadas de cada uma separadamente.

Passo 4

Derivada da função exterior g(t)=\operatorname{sen}(t).
É uma regra básica de derivadas trigonométricas que
\frac{d}{dt}\big(\operatorname{sen}(t)\big)=\cos(t).
Significado: a taxa de variação da função seno em relação ao seu argumento t é o cosseno de t. (Se estiver com dúvida, memorize: derivada do seno é cosseno.)

Passo 5

Derivada da função interior u(x)=4x.
A função é linear e a derivada de a x em relação a x é simplesmente a constante a. Logo,
u'(x)=\frac{d}{dx}(4x)=4.
Explicando: para uma reta com inclinação 4, a variação por unidade de x é 4.

Passo 6

Agora aplicamos a Regra da Cadeia. Usando g'(t)=\cos(t) e u'(x)=4, obtemos
h'(x)=g'\big(u(x)\big)\cdot u'(x)=\cos\big(u(x)\big)\cdot 4.
Voltando a u(x)=4x, isso fica
h'(x)=4\cos(4x).

Passo 7

Pequeno reforço para fixar: sempre que você tiver \operatorname{sen}(k x) com k constante, a derivada é
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sen}(k x)\big)=k\cos(k x).
Exemplo rápido: \frac{d}{dx}\big(\operatorname{sen}(3x)\big)=3\cos(3x). Isso ajuda a reconhecer o padrão na prova e a fazer rápido sem errar.

Resposta

h'(x)=4\cos(4x)

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