Exercício 11. Calcule as seguintes integrais definidas:
\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{s^{3}} d s.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{s^{3}}\,ds.
Esta é um caso de p-integral com p=3>1, logo a integral converge. Vamos resolver encontrando a primitiva e avaliando o limite do termo no infinito.

Passo 2

Reescrevemos a integral como limite de uma integral própria:
\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{s^{3}}\,ds = \lim_{b\to+\infty}\int_{1}^{b} s^{-3}\,ds.

Passo 3

Calculamos a primitiva de s^{-3}. Sabendo que \int s^{n}\,ds = \tfrac{s^{n+1}}{n+1}+C para n\neq -1, temos
\int s^{-3}\,ds = \frac{s^{-2}}{-2}+C = -\frac{1}{2\,s^{2}}+C.

Passo 4

Aplicamos o teorema fundamental e avaliamos o limite:
\lim_{b\to+\infty}\left[-\frac{1}{2\,s^{2}}\right]_{s=1}^{s=b} = \lim_{b\to+\infty}\Bigl(-\frac{1}{2\,b^{2}}+\frac{1}{2\cdot1^{2}}\Bigr) = 0+\frac{1}{2} = \frac{1}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}

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