Exercício 11. Calcule as seguintes integrais definidas:
\int_{\pi / 4}^{\pi} \operatorname{sen}(2 \theta) d \theta;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{\pi/4}^{\pi}\operatorname{sen}(2\theta)\,d\theta.
O conteúdo é cálculo de antiderivada de função trigonométrica usando a regra da cadeia.

Passo 2

Para achar a antiderivada de \operatorname{sen}(2\theta), fazemos a substituição interna u=2\theta, de modo que du=2\,d\theta ou d\theta=\tfrac12\,du. Assim,
\int \operatorname{sen}(2\theta)\,d\theta = \int \operatorname{sen}(u)\,\frac{du}{2} = \frac12\int \operatorname{sen}(u)\,du = -\frac12\cos(u) = -\frac12\cos(2\theta).

Passo 3

Agora avaliamos de \theta=\pi/4 até \theta=\pi. Seja
F(\theta)=-\frac12\cos(2\theta).
Então
\int_{\pi/4}^{\pi}\operatorname{sen}(2\theta)\,d\theta = F(\pi)-F\bigl(\tfrac\pi4\bigr) = \Bigl(-\tfrac12\cos(2\pi)\Bigr)\;-\;\Bigl(-\tfrac12\cos(\tfrac\pi2)\Bigr) = -\tfrac12\cdot1 \;+\;\tfrac12\cdot0 = -\tfrac12.

Resposta

-\tfrac12

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