Exercício 11. Calcule as seguintes integrais definidas:
\int_{\log 3}^{+\infty} e^{-x / 4} d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{\log 3}^{+\infty} e^{-x/4}\,dx.
O conteúdo aqui é integração de uma exponencial e avaliação de limite no infinito.

Passo 2

Vamos achar a antiderivada de e^{-x/4}. Usamos a regra
\int e^{ax}\,dx = \frac{1}{a}e^{ax} + C,
com a=-\tfrac14. Logo,
\int e^{-x/4}\,dx = \frac{1}{-1/4}e^{-x/4} + C = -4\,e^{-x/4} + C.

Passo 3

Agora aplicamos a definição de integral imprópria:
\int_{\log 3}^{+\infty} e^{-x/4}\,dx = \lim_{b\to+\infty}\Bigl[-4\,e^{-x/4}\Bigr]_{x=\log 3}^{x=b}.

Passo 4

Calculando o limite,
\lim_{b\to+\infty}\bigl(-4e^{-b/4} + 4e^{-(\log 3)/4}\bigr) = 0 + 4\,e^{-(\log 3)/4}.
E como e^{-(\log 3)/4}=(e^{\log 3})^{-1/4}=3^{-1/4}, obtemos
4\,3^{-1/4}.

Resposta

A integral vale 4\,3^{-1/4}.

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