Exercício 4. Estude o Teorema (TFC). Considere h(x)=\int_{2}^{x} \frac{(5-t)^{5}}{t^{4}+6} d t. Determine:
local.
(a) h(2);
(b) intervalos onde h cresce e decresce;
(c) pontos de máximo e mínimo

Passo 1

O enunciado define a função
h(x)=\int_{2}^{x}\frac{(5-t)^{5}}{t^{4}+6}\,dt
e pede para calcular (a) h(2), (b) os intervalos de crescimento e decrescimento de h e (c) os pontos de máximo e mínimo locais. Vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC), que diz que, se
F(x)=\int_{a}^{x}f(t)\,dt,
então
F'(x)=f(x).

Passo 2

Para (a), note que
h(2)=\int_{2}^{2}\frac{(5-t)^{5}}{t^{4}+6}\,dt.
Mas um integral de um ponto até o mesmo ponto vale zero. Logo,
h(2)=0.

Passo 3

Para estudar monotonicidade em (b), primeiro calculamos
h'(x)=\frac{(5-x)^{5}}{x^{4}+6}.
Observe que, para todo x, o denominador x^{4}+6 é sempre positivo. Assim, o sinal de h'(x) é o mesmo do numerador (5-x)^{5}.
  • Se x<5, então 5-x>0 e (5-x)^{5}>0, logo h'(x)>0.
  • Se x=5, então (5-5)^{5}=0, logo h'(5)=0.
  • Se x>5, então 5-x<0 e (5-x)^{5}<0, logo h'(x)<0.
Portanto, h cresce quando x<5 e decresce quando x>5.

Passo 4

Para (c), o único ponto crítico ocorre em x=5, onde h'(5)=0. Como h' passa de positivo (para a esquerda de 5) a negativo (para a direita de 5), x=5 é ponto de máximo local. Não há ponto de mínimo local, pois não existe troca de sinal de negativo para positivo em nenhum outro ponto crítico.

Resposta

(a) h(2)=0
(b) h cresce em (-\infty,5) e decresce em (5,\infty)
(c) ponto de máximo local em x=5; não há ponto de mínimo local.

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