Exercício 4. Estude o Teorema (TFC). Considere
. Determine:
local.
(a)
;
(b) intervalos onde
cresce e decresce;
(c) pontos de máximo e mínimo
local.
(a)
(b) intervalos onde
(c) pontos de máximo e mínimo
Passo 1
O enunciado define a função
e pede para calcular (a)
, (b) os intervalos de crescimento e decrescimento de
e (c) os pontos de máximo e mínimo locais. Vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC), que diz que, se
então
Passo 2
Para (a), note que
Mas um integral de um ponto até o mesmo ponto vale zero. Logo,
Passo 3
Para estudar monotonicidade em (b), primeiro calculamos
Observe que, para todo
, o denominador
é sempre positivo. Assim, o sinal de
é o mesmo do numerador
.
- Se
, então e , logo . - Se
, então , logo . - Se
, então e , logo .
Portanto,
cresce quando
e decresce quando
.
Passo 4
Para (c), o único ponto crítico ocorre em
, onde
. Como
passa de positivo (para a esquerda de 5) a negativo (para a direita de 5),
é ponto de máximo local. Não há ponto de mínimo local, pois não existe troca de sinal de negativo para positivo em nenhum outro ponto crítico.
Resposta
(a)
(b) cresce em
e decresce em
(c) ponto de máximo local em ; não há ponto de mínimo local.
(b)
(c) ponto de máximo local em