Exercício 5.11 Calcule utilizando a técnica de mudança de variável (substituição), sendo os integrandos com seus domínios maximais.
\int \frac{1}{(3 x-5)^{8}} d x

Passo 1

O enunciado pede a primitiv­a (indefinida) da função
f(x)=\frac{1}{(3x-5)^{8}}
usando mudança de variável (substituição). O conteúdo é integrais de potências e vamos precisar usar a substituição linear para simplificar o expoente.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = 3x - 5.
Então ao derivar,
du = 3\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{3}.

Passo 3

Substituindo em \displaystyle \int\frac{1}{(3x-5)^{8}}\,dx, temos
\int\frac{1}{u^{8}}\cdot\frac{du}{3} = \frac{1}{3}\int u^{-8}\,du.

Passo 4

Agora integramos a potência:
\frac{1}{3}\int u^{-8}\,du = \frac{1}{3}\,\frac{u^{-7}}{-7} + C = -\frac{1}{21}\,u^{-7} + C.

Passo 5

Voltando à variável x, obtemos
-\frac{1}{21}\,(3x-5)^{-7} + C = -\frac{1}{21(3x-5)^{7}} + C.
O domínio maximal da primitiva é dado por x\neq\frac{5}{3}, em cada intervalo (-\infty,\tfrac{5}{3}) ou (\tfrac{5}{3},\infty).

Resposta

\int \frac{1}{(3x-5)^{8}}\,dx = -\frac{1}{21(3x-5)^{7}} + C.

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