Exercício 11. Considere a função exponencial, f(x)=e^{x}. Mostre que a reta tangente pelo ponto x=1 passa pela origem. Opcional: faça um esboço do gráfico e da reta tangente.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a reta tangente à função f(x)=e^x no ponto x=1 passa pela origem. O conteúdo envolvido é cálculo de derivada de exponencial e equação de reta tangente.

Passo 2

Calculemos a derivada de f(x). Como a derivada da exponencial é ela mesma, temos
f'(x)=\frac{d}{dx}e^x=e^x.

Passo 3

No ponto x=1, o valor da função e da derivada são
f(1)=e^1=e, \qquad f'(1)=e^1=e.
Portanto, o coeficiente angular da reta tangente em x=1 é m=e.

Passo 4

A equação da reta tangente em um ponto (x_0,f(x_0)) é
y - f(x_0)=f'(x_0)\,(x - x_0).
Aqui x_0=1, f(1)=e e f'(1)=e, logo
y - e = e\,(x - 1).
Isolando y, obtemos
y = e\,x.

Passo 5

Para verificar que essa reta passa pela origem, basta ver que em x=0 ela dá
y = e\cdot 0 = 0.
Logo (0,0) está na reta, isto é, ela passa pela origem.

Resposta

A reta tangente a f(x)=e^x em x=1 tem equação
y = e\,x
e, como (0,0) satisfaz essa equação, a reta realmente passa pela origem.

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