Para as funções abaixo, Determine os pontos em que o gráfico da função tem coeficiente angular m igual ao valor dado em cada item.
f(x)=\sqrt{x}.
(a) \mathrm{m}=1.
b) \mathrm{m}=1 / 2.
c) \mathrm{m}=1 / 5.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\sqrt{x}
e pede os pontos do gráfico em que o coeficiente angular da reta tangente (isto é, a derivada f'(x)) vale certos valores dados. Vamos usar cálculo de derivadas e resolver equações do tipo
f'(x)=m
para cada m fornecido.

Passo 2

Calculamos a derivada de f. Como f(x)=x^{1/2}, pela regra do expoente temos
f'(x)=\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}},\quad x>0.

Passo 3

Item (a): queremos f'(x)=1. Então
\frac{1}{2\sqrt{x}}=1
2\sqrt{x}=1
\sqrt{x}=\tfrac12
x=\bigl(\tfrac12\bigr)^2=\tfrac{1}{4}.
O ponto no gráfico é
\Bigl(x,f(x)\Bigr)=\Bigl(\tfrac14,\sqrt{\tfrac14}\Bigr)=\Bigl(\tfrac14,\tfrac12\Bigr).

Passo 4

Item (b): queremos f'(x)=\tfrac12. Então
\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac12
2\sqrt{x}=2
\sqrt{x}=1
x=1.
O ponto é
\bigl(1,\sqrt{1}\bigr)=(1,1).

Passo 5

Item (c): queremos f'(x)=\tfrac15. Então
\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{5}
2\sqrt{x}=5
\sqrt{x}=\frac52
x=\Bigl(\frac52\Bigr)^2=\frac{25}{4}.
O ponto é
\Bigl(\tfrac{25}{4},\sqrt{\tfrac{25}{4}}\Bigr)=\Bigl(\tfrac{25}{4},\tfrac{5}{2}\Bigr).

Resposta

(a) \bigl(\tfrac14,\tfrac12\bigr)
(b) (1,1)
(c) \bigl(\tfrac{25}{4},\tfrac{5}{2}\bigr)

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