Exercício 12. Considere a função f(x)=1 / x. Determine o ponto do gráfico (ponto de tangência) para o qual a reta tangente passa pelo ponto (\mathrm{a})(1,0) e (\mathrm{b})(4,0). Opcional: faça um esboço do gráfico e das retas tangentes.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{1}{x}
e pede o ponto de tangência em que a reta tangente a f passa pelo ponto externo (x_1,y_1). Aqui temos dois casos:
(a) (x_1,y_1)=(1,0)
(b) (x_1,y_1)=(4,0)
Para resolver vamos usar a derivada de f para obter a inclinação da reta tangente em um ponto genérico x_0, montar a equação da reta tangente e impor a condição de que ela passe por (x_1,y_1).

Passo 2

Calculemos a derivada de f:
f'(x)=\bigl(1/x\bigr)'=-\frac{1}{x^2}.
No ponto de abscissa x_0, a inclinação da tangente é
m=f'(x_0)=-\frac{1}{x_0^2},
e o ponto de tangência é \bigl(x_0,f(x_0)\bigr)=\bigl(x_0,\tfrac1{x_0}\bigr).

Passo 3

A equação da reta tangente a f em x_0 é
y - \frac{1}{x_0} = -\frac{1}{x_0^2}\,\bigl(x - x_0\bigr).
Para que essa reta passe por \bigl(x_1,y_1\bigr), basta substituir x=x_1 e y=y_1, obtendo
y_1 - \frac{1}{x_0} = -\frac{1}{x_0^2}\,\bigl(x_1 - x_0\bigr).

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por x_0^2 e reorganizando, vem
x_0^2\,y_1 - x_0 = -\bigl(x_1 - x_0\bigr) \;\Longrightarrow\; x_0^2\,y_1 -2x_0 + x_1 = 0.
No nosso caso y_1=0, logo
-2x_0 + x_1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x_0 = \frac{x_1}{2}.

Passo 5

(a) Para (x_1,y_1)=(1,0) temos
x_0 = \frac{1}{2}, \quad y_0 = f\bigl(\tfrac12\bigr)=2.
Logo o ponto de tangência é \bigl(\tfrac12,2\bigr).
(b) Para (x_1,y_1)=(4,0) temos
x_0 = \frac{4}{2}=2, \quad y_0 = f(2)=\tfrac12.
Logo o ponto de tangência é (2,\tfrac12).

Resposta

(a) \bigl(\tfrac12,2\bigr)
(b) \bigl(2,\tfrac12\bigr)

Exercícios relacionados