Exercício 12. Considere a função
. Determine o ponto do gráfico (ponto de tangência) para o qual a reta tangente passa pelo ponto
e
. Opcional: faça um esboço do gráfico e das retas tangentes.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede o ponto de tangência em que a reta tangente a
passa pelo ponto externo
. Aqui temos dois casos:
(a)
(b)
Para resolver vamos usar a derivada de para obter a inclinação da reta tangente em um ponto genérico
, montar a equação da reta tangente e impor a condição de que ela passe por
.
(a)
(b)
Para resolver vamos usar a derivada de
Passo 2
Calculemos a derivada de
:
No ponto de abscissa
, a inclinação da tangente é
e o ponto de tangência é
.
Passo 3
A equação da reta tangente a
em
é
Para que essa reta passe por
, basta substituir
e
, obtendo
Passo 4
Multiplicando ambos os lados por
e reorganizando, vem
No nosso caso
, logo
Passo 5
(a) Para
temos
Logo o ponto de tangência é
.
(b) Para
temos
Logo o ponto de tangência é
.
Resposta
(a)
(b)
(b)