Exercício 13. Mostre que para a parábola y=x^{2}, a reta tangente no ponto ( x_{0}, y_{0} ) passa pelo ponto ( 0,-y_{0} ). Dica: y_{0}=x_{0}{ }^{2}. Verifique este resultado para as retas tangentes nos pontos ( 1,1 ) e ( 2,4 ). Opcional: faça um esboço do gráfico e das retas tangentes pelos pontos dados.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, na parábola y=x^{2}, a reta tangente em (x_{0},y_{0}) passa pelo ponto (0,-y_{0}). O conteúdo envolvido é derivada de função e equação da reta tangente no formato ponto-inclinação. Vamos usar que y_{0}=x_{0}^{2}.

Passo 2

A derivada de f(x)=x^{2} é
f'(x)=2x,
logo o coeficiente angular da reta tangente em x_{0} é
m=f'(x_{0})=2x_{0}.
A equação da reta tangente, pelo ponto-inclinação, é
y - y_{0} = m\,(x - x_{0}),
ou seja
y = y_{0} + 2x_{0}\,(x - x_{0}).

Passo 3

Para saber por onde essa reta passa no eixo y, fazemos x=0:
y(0)=y_{0}+2x_{0}(0 - x_{0})=y_{0}-2x_{0}^{2}.
Como y_{0}=x_{0}^{2}, isso dá
y(0)=x_{0}^{2}-2x_{0}^{2}=-x_{0}^{2}=-y_{0}.
Portanto a reta intercepta o eixo y em (0,-y_{0}).

Passo 4

Em (1,1) temos y_{0}=1 e m=2. A reta é
y=1+2(x-1)=2x-1,
que em x=0 y=-1=-y_{0}. Logo passa em (0,-1).

Passo 5

Em (2,4) temos y_{0}=4 e m=4. A reta é
y=4+4(x-2)=4x-4,
que em x=0 y=-4=-y_{0}. Logo passa em (0,-4).

Resposta

A reta tangente em (x_{0},y_{0}) é
y = y_{0} + 2x_{0}\,(x - x_{0})
e intercepta o eixo y em (0,-y_{0}). Nos casos dados obtemos
\,y=2x-1 com intercepto (0,-1) e \,y=4x-4 com intercepto (0,-4).

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