Exercício 13. Mostre que para a parábola
, a reta tangente no ponto (
) passa pelo ponto (
). Dica:
. Verifique este resultado para as retas tangentes nos pontos ( 1,1 ) e ( 2,4 ). Opcional: faça um esboço do gráfico e das retas tangentes pelos pontos dados.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, na parábola
, a reta tangente em
passa pelo ponto
. O conteúdo envolvido é derivada de função e equação da reta tangente no formato ponto-inclinação. Vamos usar que
.
Passo 2
A derivada de
é
logo o coeficiente angular da reta tangente em
é
A equação da reta tangente, pelo ponto-inclinação, é
ou seja
Passo 3
Para saber por onde essa reta passa no eixo
, fazemos
:
Como
, isso dá
Portanto a reta intercepta o eixo
em
.
Passo 4
Em
temos
e
. A reta é
que em
dá
. Logo passa em
.
Passo 5
Em
temos
e
. A reta é
que em
dá
. Logo passa em
.
Resposta
A reta tangente em
é
e intercepta o eixo
em
. Nos casos dados obtemos
com intercepto
e
com intercepto
.