Para as funções abaixo, Determine os pontos em que o gráfico da função tem coeficiente angular m igual ao valor dado em cada item.
f(x)=4 x-x^{2}.
(a) \mathrm{m}=1.
b) \mathrm{m}=2.
c) \mathrm{m}=3.

Passo 1

O enunciado pede os pontos do gráfico de f(x)=4x - x^2 em que a reta tangente tem coeficiente angular (ou seja, derivada) igual a um valor dado \mathrm m. Para isso, vamos usar o fato de que o coeficiente angular da reta tangente em x é
f'(x).

Passo 2

Calcular a derivada de f. Como f(x)=4x - x^2, pelo poder de diferença obtemos
f'(x) = \frac{d}{dx}(4x) - \frac{d}{dx}(x^2) = 4 - 2x.

Passo 3

Caso \mathrm m=1, igualamos
4 - 2x = 1
\implies 2x = 3
\implies x = \frac{3}{2}.
O ponto no gráfico é \bigl(x,\,f(x)\bigr), ou seja,
f\!\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr) = 4\cdot\tfrac{3}{2} - \bigl(\tfrac{3}{2}\bigr)^2 = 6 - \tfrac{9}{4} = \tfrac{15}{4}.
Logo o ponto é \bigl(\tfrac{3}{2},\,\tfrac{15}{4}\bigr).

Passo 4

Caso \mathrm m=2, igualamos
4 - 2x = 2
\implies 2x = 2
\implies x = 1.
Então
f(1) = 4\cdot1 - 1^2 = 3,
e o ponto é \bigl(1,\,3\bigr).

Passo 5

Caso \mathrm m=3, igualamos
4 - 2x = 3
\implies 2x = 1
\implies x = \tfrac{1}{2}.
Então
f\!\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr) = 4\cdot\tfrac{1}{2} - \bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)^2 = 2 - \tfrac{1}{4} = \tfrac{7}{4},
e o ponto é \bigl(\tfrac{1}{2},\,\tfrac{7}{4}\bigr).

Resposta

(a) \bigl(\tfrac{3}{2},\,\tfrac{15}{4}\bigr)
(b) \bigl(1,\,3\bigr)
(c) \bigl(\tfrac{1}{2},\,\tfrac{7}{4}\bigr)

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