Exercício 11. Considere a função exponencial,
. Mostre que a reta tangente pelo ponto
passa pela origem. Opcional: faça um esboço do gráfico e da reta tangente.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a reta tangente à função
no ponto
passa pela origem. O conteúdo envolvido é cálculo de derivada de exponencial e equação de reta tangente.
Passo 2
Calculemos a derivada de
. Como a derivada da exponencial é ela mesma, temos
Passo 3
No ponto
, o valor da função e da derivada são
Portanto, o coeficiente angular da reta tangente em
é
.
Passo 4
A equação da reta tangente em um ponto
é
Aqui
,
e
, logo
Isolando
, obtemos
Passo 5
Para verificar que essa reta passa pela origem, basta ver que em
ela dá
Logo
está na reta, isto é, ela passa pela origem.
Resposta
A reta tangente a
em
tem equação
e, como
satisfaz essa equação, a reta realmente passa pela origem.