Exercício 2.13. Considere a superfície
definida por
com
e o campo de vetores
.
(a) Determine o elemento de área
e o campo normal unitário
que aponta para cima da superfície
.
(b) Calcule
.
(c) Use o Teorema de Stokes para calcular a integral de linha
, onde
é a fronteira da superfície
orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
(a) Determine o elemento de área
(b) Calcule
(c) Use o Teorema de Stokes para calcular a integral de linha
Passo 1
O enunciado define a superfície
pelo paraboloide
e o campo vetorial
Precisamos (a) encontrar o elemento de área
e o versor normal
voltado para cima; (b) calcular
; (c) usar o Teorema de Stokes para obter
, onde
é a curva limite de
, orientada ccw vista de cima.
Passo 2
Para uma superfície dada por
, temos
onde
Logo
O vetor normal não unitário apontando para cima é
e o versor normal é
Passo 3
Calculamos o rotor por
Fazendo as derivadas, obtemos
Passo 4
O Teorema de Stokes diz
Em vez de usar o versor e
separados, note que
Assim o escalar
A projeção de
no plano
é o disco
. Logo
Passo 5
Em coordenadas polares
:
Resposta
(a)
e
.
(b)
(c)
(b)
(c)