Exercício 2.13. Considere a superfície S definida por z=1-x^{2}-y^{2} com z \geq 0 e o campo de vetores \vec{F}(x, y, z)=\left(-y+\cos x, x, x^{2}+y^{2}\right).
(a) Determine o elemento de área d S e o campo normal unitário \vec{n} que aponta para cima da superfície S.
(b) Calcule \operatorname{rot} \vec{F}.
(c) Use o Teorema de Stokes para calcular a integral de linha \int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}, onde C é a fronteira da superfície S orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.

Passo 1

O enunciado define a superfície S pelo paraboloide
z = 1 - x^2 - y^2,\quad z\ge0
e o campo vetorial
\vec F(x,y,z) = \bigl(-y+\cos x,\;x,\;x^2+y^2\bigr).
Precisamos (a) encontrar o elemento de área dS e o versor normal \vec n voltado para cima; (b) calcular \nabla\times\vec F; (c) usar o Teorema de Stokes para obter
\displaystyle \oint_C\vec F\cdot d\vec r, onde C é a curva limite de S, orientada ccw vista de cima.

Passo 2

Para uma superfície dada por z=f(x,y), temos
dS = \sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2}\,dx\,dy,
onde
f_x = \pdv{}{x}(1 - x^2 - y^2) = -2x, \quad f_y = \pdv{}{y}(1 - x^2 - y^2) = -2y.
Logo
dS = \sqrt{1 + 4x^2 + 4y^2}\,dx\,dy.
O vetor normal não unitário apontando para cima é
(-f_x,\,-f_y,\,1) = (2x,\;2y,\;1),
e o versor normal é
\vec n = \frac{(2x,\,2y,\,1)}{\sqrt{1 + 4x^2 + 4y^2}}.

Passo 3

Calculamos o rotor por
\nabla\times\vec F = \begin{vmatrix} \ihat & \jhat & \khat\\\ \pdv{}{x} & \pdv{}{y} & \pdv{}{z}\\\\ -y+\cos x & x & x^2+y^2 \end{vmatrix}.
Fazendo as derivadas, obtemos
\nabla\times\vec F = \bigl(2y,\,-2x,\;2\bigr).

Passo 4

O Teorema de Stokes diz
\oint_C \vec F\cdot d\vec r = \iint_S (\nabla\times\vec F)\cdot \vec n\,dS.
Em vez de usar o versor e dS separados, note que
\vec n\,dS = \frac{(2x,2y,1)}{\sqrt{1+4r^2}}\;\sqrt{1+4r^2}\,dx\,dy = (2x,2y,1)\,dx\,dy.
Assim o escalar
(\nabla\times\vec F)\cdot(\vec n\,dS) = (2y,\,-2x,\,2)\cdot(2x,\,2y,\,1) = 4xy -4xy +2 = 2.
A projeção de S no plano xy é o disco D: x^2+y^2\le1. Logo
\oint_C \vec F\cdot d\vec r = \iint_D 2\,dx\,dy.

Passo 5

Em coordenadas polares (r,\theta):
\iint_D 2\,dx\,dy = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1} 2\,r\,dr\,d\theta = 2\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{1}r\,dr = 2\cdot(2\pi)\cdot\frac{1}{2} = 2\pi.

Resposta

(a) dS=\sqrt{1+4x^2+4y^2}\,dx\,dy e
\displaystyle \vec n=\frac{(2x,2y,1)}{\sqrt{1+4x^2+4y^2}}.
(b) \displaystyle \nabla\times\vec F=(2y,\,-2x,\,2).
(c) \displaystyle \oint_C\vec F\cdot d\vec r = 2\pi.

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