Exercício 11 Considere V=M3 times 3(R), F=R com as operações usuais. Os subconjuntos a seg mu i r são subespaços de V ?
W=A=(ai j)3 times 3 mid ai j=0 se i neq j;

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial
V = M3times3(R)
com as operações usuais de soma de matrizes e multiplicação por escalar, e o subconjunto
W = ,A=(aij)3times3mid aij=0 se ineq j,
ou seja, a família de todas as matrizes diagonais. Pergunta-se se W é subespaço de V. Para isso vamos verificar as três propriedades: presença do vetor nulo, fechamento sob soma e fechamento sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos que a matriz nula 03times3 tem todos os elementos nulos, em particular todos os elementos fora da diagonal valem zero. Logo
03times3in W,
ou seja, W não é vazio e contém o vetor zero.

Passo 3

Tomemos duas matrizes quaisquer em W, digamos
A=(aij), B=(bij),
com aij=0 e bij=0 sempre que ineq j. Ao somá-las, o elemento (i,j) da soma é
(aij+bij),
que continuará sendo zero sempre que ineq j. Portanto
A+Bin W,
quaisquer que sejam A,Bin W, mostrando o fechamento sob soma.

Passo 4

Se A=(aij)in W e lambdainR, então o elemento (i,j) de lambda A é lambda aij. Como aij=0 para ineq j, segue lambda aij=0 sempre que ineq j. Assim
lambda Ain W,
mostrando o fechamento sob multiplicação por escalar.

Passo 5

Como W contém o vetor zero, é fechado sob soma e fechado sob multiplicação escalar, concluímos que W é de fato um subespaço de V.

Resposta

Sim, W é subespaço de M3times3(R).

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