Exercício 11 Considere
com as operações usuais. Os subconjuntos a seg
são subespaços de
?
se
;
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
com as operações usuais de soma de matrizes e multiplicação por escalar, e o subconjunto
ou seja, a família de todas as matrizes diagonais. Pergunta-se se
é subespaço de
. Para isso vamos verificar as três propriedades: presença do vetor nulo, fechamento sob soma e fechamento sob multiplicação escalar.
Passo 2
Verificamos que a matriz nula
tem todos os elementos nulos, em particular todos os elementos fora da diagonal valem zero. Logo
ou seja,
não é vazio e contém o vetor zero.
Passo 3
Tomemos duas matrizes quaisquer em
, digamos
com
e
sempre que
. Ao somá-las, o elemento
da soma é
que continuará sendo zero sempre que
. Portanto
quaisquer que sejam
, mostrando o fechamento sob soma.
Passo 4
Se
e
, então o elemento
de
é
. Como
para
, segue
sempre que
. Assim
mostrando o fechamento sob multiplicação por escalar.
Passo 5
Como
contém o vetor zero, é fechado sob soma e fechado sob multiplicação escalar, concluímos que
é de fato um subespaço de
.
Resposta
Sim,
é subespaço de
.