Exercício 11 Considere
com as operações usuais. Os subconjuntos a seg
são subespaços de
?
;
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
sobre o corpo
com as operações usuais, e pede para verificar se
é subespaço de
. Vamos usar a definição de subespaço: um subconjunto não-vazio deve ser fechado sob soma e multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, verificamos que
não é vazio: a matriz nula
satisfaz
logo
. Isso garante a existência do vetor nulo em
.
Passo 3
Agora testamos fechamento sob adição. Tomemos dois elementos de
, por exemplo
onde
é a matriz identidade. Como
, temos
. Mas
e
Logo
, mostrando que
não é fechado sob soma.
Passo 4
Para reforçar, testamos fechamento sob multiplicação por escalar. Seja novamente
e tome escalar
. Então
porém
ou seja,
. Faltou fechamento sob multiplicação por escalar.