Exercício 11 Considere V=M3 times 3(R), F=R com as operações usuais. Os subconjuntos a seg mu i r são subespaços de V ?
W=A mid A^2=A;

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial
V = M3times3(R)
sobre o corpo R com as operações usuais, e pede para verificar se
W = Ain V mid A^2 = A
é subespaço de V. Vamos usar a definição de subespaço: um subconjunto não-vazio deve ser fechado sob soma e multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, verificamos que W não é vazio: a matriz nula 0 satisfaz
0^2 = 0,
logo 0in W. Isso garante a existência do vetor nulo em W.

Passo 3

Agora testamos fechamento sob adição. Tomemos dois elementos de W, por exemplo
A = I, B = I,
onde I é a matriz identidade. Como I^2 = I, temos A,Bin W. Mas
A + B = I + I = 2I,
e
(2I)^2 = 4I neq 2I
Logo A+Bnotin W, mostrando que W não é fechado sob soma.

Passo 4

Para reforçar, testamos fechamento sob multiplicação por escalar. Seja novamente A=Iin W e tome escalar c=2. Então
cA = 2I,
porém
(cA)^2 = (2I)^2 = 4I neq 2I = cA,
ou seja, cAnotin W. Faltou fechamento sob multiplicação por escalar.

Resposta

W não é subespaço de V, pois não é fechado nem sob soma nem sob multiplicação por escalar.

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