Exercício 11 Considere V=M3 times 3(R), F=R com as operações usuais. Os subconjuntos a seg mu i r são subespaços de V ?
W=A=(ai j)3 times 3 mid a11+a22+a33=0;

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
W=lA=(aij)3times3mid a11+a22+a33=0r
é subespaço de V=M3times3(R).
Conteúdo: critério de subespaço vetorial (não vazio e fechado sob combinações lineares).

Passo 2

Verificamos se a matriz nula pertence a W. A matriz zero O tem a11=a22=a33=0, então
tr(O)=0+0+0=0,
logo Oin W. Assim W não é vazio e contém o vetor zero.

Passo 3

Mostramos que W é fechado sob combinações lineares. Se A,Bin W e alpha,betainR, então
tr(alpha A+beta B) =alpha,tr(A)+beta,tr(B) =alphacdot0+betacdot0 =0
Logo alpha A+beta Bin W, o que garante fechamento sob soma e multiplicação por escalar.

Resposta

W é subespaço de V.

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