Exercício 3. Determine o núcleo e a imagem das seguintes transformações lineares. Diga quais são injetivas, quais são sobrejetivas e quais são isomorfismos. dada por .
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
Vamos usar conceitos de núcleo, imagem e o teorema dimensão do núcleo-imagem, além das definições de injetividade, sobrejetividade e isomorfismo.
Passo 2
Para achar
Da segunda equação , então . Na terceira leva a . Logo
ou seja .
Passo 3
Pelo teorema dimensão do núcleo-imagem,
dim(ker(T))+dim(Im(T)) =diml(M2times2(R)r)=4
Como dim(ker(T))=1, segue dim(Im(T))=3. Mas R^3 tem dimensão 3, logo
Im(T)=R^3
Passo 4
– Injetividade: como ker(T)neq0, T não é injetiva.
– Sobrejetividade: Im(T)=R^3, ou seja, T é sobrejetiva.
– Isomorfismo: exige bijetividade; há surjetividade mas não injetividade, logo não é isomorfismo.
Resposta
ker(T) =lc3 & -21 & -1mid cinRr, Im(T)=R^3, T não é injetiva, é sobrejetiva e não é isomorfismo.