Exercício 3. Determine o núcleo e a imagem das seguintes transformações lineares. Diga quais são injetivas, quais são sobrejetivas e quais são isomorfismos.
T: M2 times 2(R) R^3 dada por T(lla & b c & d)=(a+b-c, b+2 c, a+b+d).

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
Tcolon M2times2(R)toR^3,
Tl(a & b c & dr) = (a+b-c,;b+2c,;a+b+d)
Vamos usar conceitos de núcleo, imagem e o teorema dimensão do núcleo-imagem, além das definições de injetividade, sobrejetividade e isomorfismo.

Passo 2

Para achar
Da segunda equação , então . Na terceira leva a . Logo
ou seja .

Passo 3

Pelo teorema dimensão do núcleo-imagem,
dim(ker(T))+dim(Im(T)) =diml(M2times2(R)r)=4
Como dim(ker(T))=1, segue dim(Im(T))=3. Mas R^3 tem dimensão 3, logo
Im(T)=R^3

Passo 4

– Injetividade: como ker(T)neq0, T não é injetiva.
– Sobrejetividade: Im(T)=R^3, ou seja, T é sobrejetiva.
– Isomorfismo: exige bijetividade; há surjetividade mas não injetividade, logo não é isomorfismo.

Resposta

ker(T) =lc3 & -21 & -1mid cinRr,
Im(T)=R^3,
T não é injetiva, é sobrejetiva e não é isomorfismo.

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