Exercício 2. Encontre a transformação linear que satisfaz o que se pede:
T: P2(R) M2 times 2(R) com T(1-x)=[ll1 & 1 0 & 1], T(1+x)=[ll0 & 1 2 & 1] e T(x^2)=[ll1 & 2 1 & 1].

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear
Tcolon P2(R)to M2times2(R)
sabendo apenas
T(1 - x)=1&10&1, T(1 + x)=0&12&1, T(x^2)=1&21&1
Como P2(R) tem dimensão 3, basta achar T(1), T(x) e T(x^2). Já temos T(x^2) e podemos obter T(1), T(x) usando a linearidade em 1pm x.

Passo 2

Usando linearidade em 1-x e 1+x temos
T(1-x)=T(1)-T(x), T(1+x)=T(1)+T(x)
Somando as duas igualdades:
T(1-x)+T(1+x)=2,T(1) ;Longrightarrow; 2,T(1) =1&10&1 +0&12&1 =1&22&2,
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T(1)=tfrac121&22&2 =tfrac12&11&1

Passo 3

Subtraindo as mesmas igualdades:
T(1+x)-T(1-x)=2,T(x) ;Longrightarrow; 2,T(x) =0&12&1 -1&10&1 =-1&02&0,
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T(x)=tfrac12-1&02&0 =-tfrac12&01&0
E do enunciado já temos
T(x^2)=1&21&1

Passo 4

Para um polinômio genérico
;p(x)=a,x^2+b,x+cin P2(R),
pela linearidade
T(p) =a,T(x^2)+b,T(x)+c,T(1)
Basta somar as matrizes com coeficientes a,b,c.

Passo 5

Fazendo a soma:
a1&21&1 +b-tfrac12&01&0 +ctfrac12&11&1 = a-tfrac b2+tfrac c2 & 2a+c[6pt] a+b+c & a+c ]

Resposta

Para ;p(x)=a,x^2+b,x+c,
Tl(a,x^2+b,x+cr) = a-tfracb2+tfracc2 & 2a+c[4pt] a+b+c & a+c ]

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