Exercício 11 Considere X uma variável aleatória que assume apenas os valores -1 e+1, cada um deles com probabilidade 1 / 2 e 1 / 2. Construa um gráfico para representar a seguinte função de k :
P\left(\frac{|X-E[X]|}{\sqrt{\operatorname{Var}[X]}} \geq k\right), \quad k \geq 0
Desenhe também uma linha horizontal representando o limite superior dado pela Desigualdade de Tchebychev.
Passo 1
O enunciado define uma v.a. X que assume -1 e +1 com probabilidade \tfrac12 cada, e pede o gráfico da função
P\Bigl(\frac{\lvert X - E[X]\rvert}{\sqrt{\mathrm{Var}[X]}}\ge k\Bigr),
para k\ge0, além de sobrepor o limite dado pela desigualdade de Tchebychev.
Passo 2
Calculemos a média e a variância de X. Como X\in\{-1,1\} com mesma probabilidade,
E[X]=(-1)\cdot\tfrac12+(1)\cdot\tfrac12=0,
\mathrm{Var}[X]=E[X^2]-\bigl(E[X]\bigr)^2=1-0=1.
Logo o desvio padrão é \sqrt{\mathrm{Var}[X]}=1.
Passo 3
O quantil padronizado é
\frac{\lvert X - E[X]\rvert}{\sqrt{\mathrm{Var}[X]}} =\lvert X\rvert,
A desigualdade de Tchebychev diz, em termos padronizados, que para todo k>0
P\Bigl(\frac{\lvert X - E[X]\rvert}{\sqrt{\mathrm{Var}[X]}}\ge k\Bigr)\le \frac{1}{k^2}.
Esse será o nosso limite superior a ser sobreposto no gráfico.
Passo 5
Em um mesmo sistema de eixos (k,\;y)\), trace:
- A função real
\[y = P\Bigl(\frac{\lvert X - E[X]\rvert}{\sqrt{\mathrm{Var}[X]}}\ge k\Bigr) =\begin{cases} 1, & 0\le k\le1,\\\\ 0, & k>1, \end{cases}
que é uma “escada” de valor 1\] até \(k=1 e 0 depois.
O gráfico da curvay = \frac{1}{k^2},\quad k>0,que decai de +\infty para 0, passsando por y=1 em k=1.