Exercício 1. Para cada uma das tabelas abaixo, calcule:
Tabela 2. Distribuição do IMC na sala de aula 2.
IMC Número de pessoas
18-20 30
20-22 27
22-24 20
24-26 16
26-28 12
28-30 8
30-32 7
32-34 6
34-36 6
36-38 5
38-40 3
Total 140
a. A média, a mediana e a moda.
b. A variância, o desvio padrão e o coeficiente de variação (CV).
c. O intervalo interquartil (IIQ).

Passo 1

O enunciado nos dá uma distribuição de frequência agrupada do IMC em 11 classes de largura h=2, totalizando N=140 observações. Vamos usar fórmulas de estatística descritiva para dados agrupados:
  1. Média amostral
  2. Mediana e moda (interpolação em classes)
  3. Variância, desvio padrão e coeficiente de variação
  4. Quartis por interpolação e intervalo interquartil

Passo 2

Para calcular a média agrupada, montamos a tabela de pontos médios x_i e multiplicamos pela frequência f_i:
\begin{array}{c|c|c|c} \text{Classe} & f_i & x_i=\tfrac{L+U}{2} & f_i x_i\\hline 18\text{–}20 & 30 & 19 & 570\\\\ 20\text{–}22 & 27 & 21 & 567\\\\ 22\text{–}24 & 20 & 23 & 460\\\\ 24\text{–}26 & 16 & 25 & 400\\\\ 26\text{–}28 & 12 & 27 & 324\\\\ 28\text{–}30 & 8 & 29 & 232\\\\ 30\text{–}32 & 7 & 31 & 217\\\\ 32\text{–}34 & 6 & 33 & 198\\\\ 34\text{–}36 & 6 & 35 & 210\\\\ 36\text{–}38 & 5 & 37 & 185\\\\ 38\text{–}40 & 3 & 39 & 117\\hline \multicolumn{3}{r|}{\displaystyle\sum f_i x_i} & 3480 \end{array}
A média é
\bar x = \frac{\sum f_i x_i}{N} = \frac{3480}{140} = 24{,}8571\approx24{,}86.

Passo 3

Para a mediana, localizamos a classe que contém a 70ª observação ( N/2=70). O cumulativo até a classe anterior (20–22) é 30+27=57, e a classe seguinte (22–24) tem f=20. Usamos interpolação:
\text{Mediana} = L_{\text{med}} + \frac{\frac N2 - F_{\text{ant}}}{f_{\text{med}}}\,h =22 + \frac{70-57}{20}\cdot2 =22 +1{,}30 =23{,}30.

Passo 4

A classe modal é a de maior frequência, 18–20 ( f_1=30). Como não há classe anterior, aproximamos a moda pelo ponto médio ou, se quisermos interpolar, tomamos f_0=0, f_2=27, L=18:
\text{Moda} = L + \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2}\,h =18 + \frac{30-0}{2\cdot30-0-27}\cdot2 \approx18 +1{,}82 \approx19{,}82.
Em geral, podemos reportar \text{Moda}\approx19{,}0 (ponto médio da classe) ou \approx19{,}82 (interpolada).

Passo 5

Para a variância usamos \sum f_i x_i^2. Calculamos rapidamente:
\sum f_i x_i^2 =90812,
de modo que
\sigma^2 =\frac{\sum f_i x_i^2}{N} - \bar x^2 =\frac{90812}{140} - (24{,}8571)^2 \approx30{,}78,
\sigma \approx\sqrt{30{,}78}=5{,}55,
\text{CV} = \frac{\sigma}{\bar x}\times100\% \approx\frac{5{,}55}{24{,}86}\times100\% \approx22{,}3\%.

Passo 6

Para os quartis, usamos Q_1 na posição N/4=35 e Q_3 em 3N/4=105.
Q_1: cumulativo até 18–20 é 30, a classe 20–22 tem f=27.
Q_1=20 + \frac{35-30}{27}\cdot2 =20+0{,}3704 =20{,}37.
Q_3: cumulativo até 24–26 é 93, a classe 26–28 tem f=12.
Q_3=26 + \frac{105-93}{12}\cdot2 =26+2 =28{,}00.
O intervalo interquartil é
\text{IIQ}=Q_3-Q_1=28{,}00-20{,}37=7{,}63.

Resposta

a. \bar x\approx24{,}86, Mediana \approx23{,}30, Moda \approx19{,}82 (ou 19).
b. \sigma^2\approx30{,}78, \sigma\approx5{,}55, \text{CV}\approx22{,}3\%.
c. IIQ\approx7{,}63.

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