Exercício 1. Para cada uma das tabelas abaixo, calcule:
Tabela 3. Distribuição do IMC na sala de aula 3.
IMC Número de pessoas
18-20 15
20-22 30
22-24 15
24-26 5
26-28 3
28-30 4
30-32 3
32-34 5
34-36 15
36-38 30
38-40 15
Total 140
a. A média, a mediana e a moda.
b. A variância, o desvio padrão e o coeficiente de variação (CV).
c. O intervalo interquartil (IIQ).

Passo 1

O enunciado fornece uma distribuição de frequências agrupadas de valores de IMC em classes de amplitude h=2 e pede:
a. média, mediana e moda;
b. variância, desvio padrão e coeficiente de variação;
c. intervalo interquartil.
Para resolver vamos usar os pontos médios de cada classe, as frequências acumuladas e as fórmulas de estatística descritiva para dados agrupados.

Passo 2

Calculamos o ponto médio x_i de cada classe e depois a média
\bar x = \frac{\sum f_i\,x_i}{N}.
As classes, seus x_i e f_i são:
\begin{array}{c|ccccccccccc} \text{Classe} & 18\!-\!20 & 20\!-\!22 & 22\!-\!24 & 24\!-\!26 &26\!-\!28&28\!-\!30&30\!-\!32&32\!-\!34&34\!-\!36&36\!-\!38&38\!-\!40\\hline x_i &19 &21 &23 &25 &27 &29 &31 &33 &35 &37 &39\\\ f_i &15 &30 &15 &5 &3 &4 &3 &5 &15 &30 &15 \end{array}
\sum f_i=140 e
\sum f_i x_i=4060, logo
\bar x = \frac{4060}{140} = 29.

Passo 3

Para a mediana usamos a fórmula
\tilde x = L + \frac{\tfrac{N}{2}-F_{\text{ant}}}{f_{\text{med}}}\,h,
onde N/2=70. A frequência acumulada até a classe 26\!-\!28 é 68, e a próxima classe ( 28\!-\!30) tem f_{\text{med}}=4 e limite inferior L=28. Assim
\tilde x = 28 + \frac{70 - 68}{4}\cdot 2 = 28 + 1 = 29.

Passo 4

A(s) classe(s) modal(is) é(são) a(s) que tem(f) f_i máxima. Aqui vemos f_{\max}=30 em 20\!-\!22 e em 36\!-\!38, ou seja, é uma distribuição bimodal. Para cada modo usamos
x_{\text{mo}} = L + \frac{f_{\text{mo}}-f_{\text{ant}}}{2f_{\text{mo}}-f_{\text{ant}}-f_{\text{dep}}}\,h.
Em ambas as classes f_{\text{mo}}=30, f_{\text{ant}}=15, f_{\text{dep}}=15 e h=2, portanto
x_{\text{mo}}^{(1)} = 20 + \frac{30-15}{2\cdot30-15-15}\cdot2 = 20 + 1 = 21, \quad x_{\text{mo}}^{(2)} = 36 + 1 = 37.

Passo 5

Para a variância populacional usamos
\sigma^2 = \frac{\sum f_i x_i^2}{N} - \bar x^2.
Calculamos \sum f_i x_i^2 =125844. Logo
\frac{125844}{140}=898{,}8857,\quad \sigma^2 = 898{,}8857 - 29^2 = 57{,}8857, \quad \sigma = \sqrt{57{,}8857} = 7{,}611.
O coeficiente de variação é
\mathrm{CV} = \frac{\sigma}{\bar x}\times100\%= \frac{7{,}611}{29}\times100\%\approx26{,}24\%.

Passo 6

Para o intervalo interquartil calculamos Q_1 e Q_3 pelas fórmulas
Q_1 = L + \frac{\tfrac{N}{4}-F_{\text{ant}}}{f_{Q_1}}\,h,\quad Q_3 = L + \frac{\tfrac{3N}{4}-F_{\text{ant}}}{f_{Q_3}}\,h.
  • N/4=35. Classe de Q_1: 20\!-\!22 (acumulado antes 15, f=30, L=20):
Q_1 = 20 + \frac{35-15}{30}\cdot2 = 20 + 1{,}333 = 21{,}333.
  • 3N/4=105. Classe de Q_3: 36\!-\!38 (acumulado antes 95, f=30, L=36):
Q_3 = 36 + \frac{105-95}{30}\cdot2 = 36 + 0{,}667 = 36{,}667.
Assim o intervalo interquartil é
\mathrm{IIQ} = Q_3 - Q_1 = 36{,}667 - 21{,}333 = 15{,}334.

Resposta

a. \bar{x} = 29,; mediana = 29,; distribuição bimodal com modos aproximados em 21 e 37.
b. \sigma^2 = 57{,}886,; \sigma = 7{,}611,; \mathrm{CV} = 26{,}24\%.
c. Q_1 = 21{,}333,; Q_3 = 36{,}667,; \mathrm{IIQ} = 15{,}334.

Exercícios relacionados