Exercício 11 Construir um triângulo conhecendo-se dois lados e a mediana referente ao lado desconhecido.
Passo 1
O enunciado pede a construção do triângulo sabendo-se as medidas dos dois lados ,
e da mediana
relativa ao lado desconhecido .
O conteúdo aqui é construção clássica com régua e compasso: vamos usar
construção de ponto médio,
interseção de círculos e
reflexão de ponto (simetria central).
Para garantir a existência, note que pelo Teorema de Apolônio
deve ser não negativo, o que equivale a
Passo 2
Traçar o segmento de comprimento ,c. Marque os pontos finais como A e B.
Passo 3
Construir o ponto médio D de AB:
com compasso, traçar arcos de mesmo raio (maior que tfracc2) em torno de A e de B. Esses dois arcos se cortam em dois pontos; una-os com reta e faça a mediatriz de AB. O ponto de encontro da mediatriz com o próprio AB é o ponto médio D.
Passo 4
Desenhar a circunferência gamma1 de centro A e raio ma.
Em seguida, traçar a circunferência gamma2 de centro D e raio tfracb2.
Passo 5
Chamar M cada ponto de interseção de gamma1 e gamma2. Essas interseções existem precisamente se
l|ma - tfracb2r|;<=;tfracc2;<=;ma + tfracb2
Passo 6
Para cada escolha de M, construir o ponto C simétrico a B em relação a M. Isso se faz traçando a reta BM e marcando em prolongamento o ponto C tal que
MB = MC,,
isto é, com compasso de centro M e raio MB, traçar um arco para localizar C.
Passo 7
Unir A a C. O triângulo ABC obtido satisfaz ,AB=c, ,AC=b e ,AM=ma (a mediana a BC). Há até duas soluções, correspondendo aos dois possíveis pontos M.
Resposta
O triângulo ABC é construído pelos passos acima, usando as interseções das circunferências gamma1 e gamma2 para achar o ponto médio M de BC e em seguida refletindo B em M para obter C.