Exercício 11 Construir um triângulo conhecendo-se dois lados e a mediana referente ao lado desconhecido.

Passo 1

O enunciado pede a construção do triângulo ABC sabendo-se as medidas dos dois lados
,AB = c, ,AC = b
e da mediana
,ma
relativa ao lado desconhecido
,BC.
O conteúdo aqui é construção clássica com régua e compasso: vamos usar
  1. construção de ponto médio,
  2. interseção de círculos e
  3. reflexão de ponto (simetria central).
    Para garantir a existência, note que pelo Teorema de Apolônio
BC^2 ;=;2l(b^2 + c^2r);-;4,ma^2
deve ser não negativo, o que equivale a
2(b^2 + c^2);>=;4,ma^2

Passo 2

Traçar o segmento AB de comprimento ,c. Marque os pontos finais como A e B.

Passo 3

Construir o ponto médio D de AB:
com compasso, traçar arcos de mesmo raio (maior que tfracc2) em torno de A e de B. Esses dois arcos se cortam em dois pontos; una-os com reta e faça a mediatriz de AB. O ponto de encontro da mediatriz com o próprio AB é o ponto médio D.

Passo 4

Desenhar a circunferência gamma1 de centro A e raio ma.
Em seguida, traçar a circunferência gamma2 de centro D e raio tfracb2.

Passo 5

Chamar M cada ponto de interseção de gamma1 e gamma2. Essas interseções existem precisamente se
l|ma - tfracb2r|;<=;tfracc2;<=;ma + tfracb2

Passo 6

Para cada escolha de M, construir o ponto C simétrico a B em relação a M. Isso se faz traçando a reta BM e marcando em prolongamento o ponto C tal que
MB = MC,,
isto é, com compasso de centro M e raio MB, traçar um arco para localizar C.

Passo 7

Unir A a C. O triângulo ABC obtido satisfaz
,AB=c, ,AC=b e ,AM=ma (a mediana a BC). Há até duas soluções, correspondendo aos dois possíveis pontos M.

Resposta

O triângulo ABC é construído pelos passos acima, usando as interseções das circunferências gamma1 e gamma2 para achar o ponto médio M de BC e em seguida refletindo B em M para obter C.

Exercícios relacionados