Exercício 9 Construir um triângulo isósceles conhecendo o perímetro e a altura.

Passo 1

O enunciado pede a construção de um triângulo isósceles sabendo-se o perímetro P e a altura h relativa à base. O conteúdo é construção geométrica clássica com régua e compasso e vamos precisar primeiro determinar, por álgebra, o comprimento da base b e dos lados iguais a, depois construir esses segmentos e, por fim, usar a construção de um triângulo a partir de seus três lados.

Passo 2

Denotemos por b o comprimento da base e por a o comprimento de cada lado igual. Do perímetro vem
P = 2a + b
e, como o triângulo é isósceles, a altura satisfaz o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo de hipotenusa a e catetos h e b/2:
a^2 = l(b2r)^2 + h^2

Passo 3

Substituindo a = tfracP-b2 em a^2 = l(tfracb2r)^2 + h^2 e resolvendo para b obtém-se
l(P - b2r)^2 = l(b2r)^2 + h^2 ;Longrightarrow; b = P^2 - 4,h^22,P

Passo 4

Em seguida, da relação 2a + b = P segue
a = P - b2 = P - tfracP^2-4h^22P2 = P^2 + 4,h^24,P

Passo 5

Para construir b = tfracP^2-4h^22P com régua e compasso, proceda assim:
  1. Desenhe um segmento AB de comprimento AB = P.
  2. Sobre AB, escolha ponto D tal que ADcdot AB = (2h)^2. Para isso, trace em B uma perpendicular a AB, marque em B um ponto E com BE = 2h, una A a E e por E trace uma perpendicular a AE que corte AB em D. A construção garante ADcdot AB = BE^2 = (2h)^2.
  3. Então AE = AB - AD = tfracP^2-4h^2P.
  4. Finalmente, bissete AE; o meio da bissetriz dá b = AE/2 = tfracP^2-4h^22P

Passo 6

Para construir a = tfracP - b2 basta:
  1. Sobre o mesmo segmento AB=P marque C tal que BC = b.
  2. Bissete o segmento AC; cada metade vale tfracAC2 = tfracP-b2 = a

Passo 7

Com os comprimentos de b e a em mãos, construa o triângulo isósceles:
  1. Desenhe um novo segmento DE de comprimento DE=b.
  2. Com centro em D e raio a trace um arco; faça o mesmo com centro em E e raio a.
  3. Os dois arcos se cruzam em F. Una F a D e a E. O triângulo DEF é o isósceles procurado.

Resposta

Construir b e a pelas fórmulas
b = P^2-4h^22P, a = P^2+4h^24P,
em seguida traçar a base DE=b e os arcos de raio a em D e E para obter o vértice F.

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