Exercício 9 Construir um triângulo isósceles conhecendo o perímetro e a altura.
Passo 1
O enunciado pede a construção de um triângulo isósceles sabendo-se o perímetro
e a altura
relativa à base. O conteúdo é construção geométrica clássica com régua e compasso e vamos precisar primeiro determinar, por álgebra, o comprimento da base
e dos lados iguais
, depois construir esses segmentos e, por fim, usar a construção de um triângulo a partir de seus três lados.
Passo 2
Denotemos por
o comprimento da base e por
o comprimento de cada lado igual. Do perímetro vem
e, como o triângulo é isósceles, a altura satisfaz o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo de hipotenusa
e catetos
e
:
Passo 3
Substituindo
em
e resolvendo para
obtém-se
Passo 4
Em seguida, da relação
segue
Passo 5
Para construir
com régua e compasso, proceda assim:
- Desenhe um segmento
de comprimento . - Sobre
, escolha ponto tal que . Para isso, trace em uma perpendicular a , marque em um ponto com , una a e por trace uma perpendicular a que corte em . A construção garante . - Então
. - Finalmente, bissete
; o meio da bissetriz dá
Passo 6
Para construir
basta:
- Sobre o mesmo segmento
marque tal que . - Bissete o segmento
; cada metade vale
Passo 7
Com os comprimentos de
e
em mãos, construa o triângulo isósceles:
- Desenhe um novo segmento
de comprimento . - Com centro em
e raio trace um arco; faça o mesmo com centro em e raio . - Os dois arcos se cruzam em
. Una a e a . O triângulo é o isósceles procurado.
Resposta
Construir
e
pelas fórmulas
em seguida traçar a base
e os arcos de raio
em
e
para obter o vértice
.