Exercício 11 (D.L.5.35)
Ache as singularidades e classifique-as em estáveis, assintoticamente estáveis e instáveis. Desenhe o retrato de fase do campo x^prime=-nabla V(x), onde V: R^n R é dada por
(e) V(x1, x2, x3)=x1^2(x1-1)+x2^2(x2-2)+x3^2

Passo 1

O enunciado pede os pontos de equilíbrio (singularidades) do sistema
x'=-nabla V(x),
onde V(x1,x2,x3)=x1^2(x1-1)+x2^2(x2-2)+x3^2.
O conteúdo é fluxo de gradiente: equilibram-se onde nabla V=0 e a classificação (estável, assintoticamente estável ou instável) se faz pela linearização, isto é, pelos sinais dos autovalores de -D^2V.

Passo 2

Calculemos nabla V. Em cada coordenada:
partial Vpartial x1 =3x1^2-2x1, partial Vpartial x2 =3x2^2-4x2, partial Vpartial x3 =2x3
Logo o sistema decai em três subsistemas 1D:
x1'=-l(3x1^2-2x1r), x2'=-l(3x2^2-4x2r), x3'=-2x3

Passo 3

Para equilibrar, cada derivada deve ser zero. Assim
3x1^2-2x1=0implies x1(3x1-2)=0implies x1in0,tfrac23,
3x2^2-4x2=0implies x2(3x2-4)=0implies x2in0,tfrac43,
2x3=0implies x3=0
Os pontos de equilíbrio são
(0,0,0), (tfrac23,0,0), (0,tfrac43,0),(tfrac23,tfrac43,0)

Passo 4

A linearização em cada ponto é diagonal, pois o sistema é decoupled. Os coeficientes lineares são
ddx1(x1')=2-6x1, ddx2(x2')=4-6x2, ddx3(x3')=-2
Esses são os autovalores das três direções coordenadas.

Passo 5

Avaliemos em cada equilíbrio:
1. Em (0,0,0):
lambda1=2-6cdot0=2>0,;lambda2=4-6cdot0=4>0,;lambda3=-2<0 2. Em (tfrac23,0,0):
lambda1=2-6cdottfrac23=-2<0,;lambda2=4>0,;lambda3=-2<0 3. Em (0,tfrac43,0):
lambda1=2>0,;lambda2=4-6cdottfrac43=-4<0,;lambda3=-2<0 4. Em (tfrac23,tfrac43,0):
lambda1= -2<0,;lambda2=-4<0,;lambda3=-2<0

Passo 6

Classificação segundo os sinais dos lambda:
  • (0,0,0): dois lambda>0 e um lambda<0 Rightarrow ponto de sela (instável).
  • (tfrac23,0,0) e (0,tfrac43,0): um lambda>0, dois lambda<0 Rightarrow pontos de sela (instáveis).
  • (tfrac23,tfrac43,0): todos lambda<0 Rightarrow nó atrator (assintoticamente estável).

Passo 7

O retrato de fase é o produto dos três fluxos 1D: em cada eixo x1 temos fluxo de um nó em x1=tfrac23 (estável) e um ponto de sela em x1=0 (instável); em x2 análogo com tfrac43 e 0; em x3 fluxo simples decaindo para 0. No espaço R^3, todo trajeto tende ao ponto (tfrac23,tfrac43,0), a menos que se alinhe exatamente com as variedades instáveis dos três selares.

Resposta

Equilíbrios e classificação:
(0,0,0) – sela, instável.
(tfrac23,0,0) – sela, instável.
(0,tfrac43,0) – sela, instável.
(tfrac23,tfrac43,0) – nó atrator, assintoticamente estável.

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