Exercício 11 (D.L.5.35)
Ache as singularidades e classifique-as em estáveis, assintoticamente estáveis e instáveis. Desenhe o retrato de fase do campo
, onde
é dada por
(e)
(e)
Passo 1
O enunciado pede os pontos de equilíbrio (singularidades) do sistema
onde
.
O conteúdo é fluxo de gradiente: equilibram-se onde e a classificação (estável, assintoticamente estável ou instável) se faz pela linearização, isto é, pelos sinais dos autovalores de
.
O conteúdo é fluxo de gradiente: equilibram-se onde
Passo 2
Calculemos
. Em cada coordenada:
Logo o sistema decai em três subsistemas
D:
Passo 3
Para equilibrar, cada derivada deve ser zero. Assim
Os pontos de equilíbrio são
Passo 4
A linearização em cada ponto é diagonal, pois o sistema é decoupled. Os coeficientes lineares são
Esses são os autovalores das três direções coordenadas.
Passo 5
Avaliemos em cada equilíbrio:
Passo 6
Classificação segundo os sinais dos
:
-
: dois e um ponto de sela (instável). -
e : um , dois pontos de sela (instáveis). -
: todos nó atrator (assintoticamente estável).
Passo 7
O retrato de fase é o produto dos três fluxos
D: em cada eixo
temos fluxo de um nó em
(estável) e um ponto de sela em
(instável); em
análogo com
e
; em
fluxo simples decaindo para
. No espaço
, todo trajeto tende ao ponto
, a menos que se alinhe exatamente com as variedades instáveis dos três selares.
Resposta
Equilíbrios e classificação:
– sela, instável.
– sela, instável.
– sela, instável.
– nó atrator, assintoticamente estável.