Exercício 4.8.14. Sejam F: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} e G: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} aplicações lineares com matrizes representativas
M_{F}^{\mathcal{B}_{2}, \mathcal{B}_{3}}=\left(\begin{array}{cc} 2 & 1 \\\\ 0 & 1 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right), \quad M_{G}^{\mathcal{B}_{3}, \mathcal{B}_{2}}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\\\ -1 & 0 & 1 \end{array}\right)
com respeito às bases canônicas \mathcal{B}_{2} e \mathcal{B}_{3} de \mathbb{R}^{2} e \mathbb{R}^{3}.
Verificar que M_{G}^{\mathcal{B}_{3}, \mathcal{B}_{2}} \cdot M_{F}^{\mathcal{B}_{2}, \mathcal{B}_{3}} é a matriz representativa, nas bases consideradas, de G \circ F.

Passo 1

O enunciado dá as aplicações lineares \displaystyle F\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 e \displaystyle G\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2
com matrizes, nas bases canônicas,
M_{F}^{\mathcal{B}_{2},\mathcal{B}_{3}} = \begin{pmatrix} 2 & 1\\\\ 0 & 1\\\\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad M_{G}^{\mathcal{B}_{3},\mathcal{B}_{2}} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\\\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Queremos mostrar que a matriz de G\circ F (de \mathbb{R}^2 em \mathbb{R}^2, nas bases canônicas) é exatamente o produto
M_{G}^{\mathcal{B}_{3},\mathcal{B}_{2}}\;M_{F}^{\mathcal{B}_{2},\mathcal{B}_{3}}.

Passo 2

Para achar a matriz de G\circ F basta ver onde vão os vetores da base de \mathbb{R}^2. Chamemos de e_1=(1,0) e e_2=(0,1).
Como M_{F} é a matriz de F nas bases canônicas, temos
F(e_1)= \begin{pmatrix}2\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}, \quad F(e_2)= \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 3

Agora aplicamos G a essas imagens:
G\bigl(F(e_1)\bigr) = M_{G}\, \begin{pmatrix}2\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\\\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}2\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\\ -2\end{pmatrix},
G\bigl(F(e_2)\bigr) = M_{G}\, \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\\\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\\ -1\end{pmatrix}.

Passo 4

As colunas da matriz de G\circ F são exatamente G(F(e_1)) e G(F(e_2)). Logo
M_{G\circ F}^{\mathcal{B}_{2},\mathcal{B}_{2}} = \begin{pmatrix} 2 & 3\\\\ -2 & -1 \end{pmatrix}.

Passo 5

Para verificar que isso coincide com o produto de matrizes, calculamos
M_{G}^{\mathcal{B}_{3},\mathcal{B}_{2}} \;M_{F}^{\mathcal{B}_{2},\mathcal{B}_{3}} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\\\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1\\\\ 0 & 1\\\\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 3\\\\ -2 & -1 \end{pmatrix},
que é exatamente a matriz de G\circ F nas bases canônicas.

Resposta

M_{G\circ F}^{\mathcal{B}_{2},\mathcal{B}_{2}} = M_{G}^{\mathcal{B}_{3},\mathcal{B}_{2}} \;M_{F}^{\mathcal{B}_{2},\mathcal{B}_{3}} = \begin{pmatrix} 2 & 3\\\\ -2 & -1 \end{pmatrix}.

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