Exercício 11. Dado um triângulo A B C, seja \vec{u}=\frac{1}{2} \overrightarrow{C A}+\frac{1}{3} \overrightarrow{C B}. Seja X um ponto do segmento de reta A B tal que o vetor \overrightarrow{C X} é paralelo ao vetor \vec{u}.
(a) Exprima \overrightarrow{C X} como combinação linear dos vetores \overrightarrow{C A} e \overrightarrow{C B}.
(b) Calcule \frac{\|\overrightarrow{A X}\|}{\|\overrightarrow{X B}\|} e a razão em que X divide o segmento de reta A B (veja Exercício 12).
Diz que X é um ponto do segmento A B tal que \overrightarrow{C X} é paralelo a \vec{u}.
O que é pedido:
(a) Expressar \overrightarrow{C X} como combinação linear dos vetores \overrightarrow{C A} e \overrightarrow{C B}.
(b) Calcular \dfrac{\|\overrightarrow{A X}\|}{\|\overrightarrow{X B}\|} e dizer em que razão X divide o segmento A B.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Temos os vetores \overrightarrow{C A} e \overrightarrow{C B} como base de referência (são linearmente independentes, porque A,B,C não são colineares).
X pertence ao segmento A B, logo existe um parâmetro \mu com 0\le\mu\le1 tal que \overrightarrow{A X}=\mu\overrightarrow{A B}.
A condição de paralelismo significa que existe escalar t tal que \overrightarrow{C X}=t\vec{u}.
Passo 2
Escolher uma parametrização do ponto X sobre o segmento A B.
Explicação didática: para descrever um ponto X no segmento A B é comum usar um parâmetro \mu tal que \overrightarrow{A X}=\mu\overrightarrow{A B}. Se \mu=0 então X=A; se \mu=1 então X=B; valores entre 0 e 1 dão pontos internos do segmento.
Usando essa parametrização, escrevo \overrightarrow{C X} em função de \mu:
Observação: isso já mostra que \overrightarrow{C X} é uma combinação linear dos vetores \overrightarrow{C A} e \overrightarrow{C B}, com coeficientes 1-\mu e \mu. Falta determinar o valor de \mu usando a condição de paralelismo com \vec{u}.
Passo 3
Usar a condição de paralelismo entre \overrightarrow{C X} e \vec{u}.
Explicação didática: dois vetores são paralelos se, e somente se, um é múltiplo escalar do outro. Ou seja, existe escalar t tal que \overrightarrow{C X}=t\vec{u}.
Como \overrightarrow{C A} e \overrightarrow{C B} são linearmente independentes (vetores aos vértices de um triângulo), podemos igualar coeficientes de \overrightarrow{C A} e de \overrightarrow{C B} em ambos os lados. Assim obtemos o sistema para os escalares \mu e t:
1-\mu=\tfrac{1}{2}t,\qquad \mu=\tfrac{1}{3}t.
Passo 4
Resolver o sistema para \mu e t.
Da segunda equação vem t=3\mu. Substituindo na primeira:
1-\mu=\tfrac{1}{2}(3\mu)=\tfrac{3}{2}\mu.
Resolver passo a passo:
1-\mu=\tfrac{3}{2}\mu
1=\mu+\tfrac{3}{2}\mu=\tfrac{5}{2}\mu
\mu=\tfrac{2}{5}.
Então
t=3\mu=3\cdot\tfrac{2}{5}=\tfrac{6}{5}.
Passo 5
Substituir \mu obtido na expressão de \overrightarrow{C X} e escrever a resposta pedida em (a).
Interpretação: X divide o segmento A B internamente na razão 2:3, isto é, a partir de A até B tem-se A X : X B = 2 : 3.
Resposta
\overrightarrow{C X}=\tfrac{3}{5}\overrightarrow{C A}+\tfrac{2}{5}\overrightarrow{C B}\ \dfrac{\|\overrightarrow{A X}\|}{\|\overrightarrow{X B}\|}=\dfrac{2}{3} (ou seja, A X : X B = 2:3)