Exercício 11 - Determine se cada afirmação é verdadeira ou falsa, justificando cada resposta.
Duas matrizes diagonais de ordem 3 sempre comutam entre si.

Passo 1

O enunciado pergunta se duas matrizes diagonais de ordem 3 sempre comutam, ou seja, se para quaisquer matrizes A e B diagonais vale
AB = BA
O conteúdo aqui é multiplicação de matrizes e a propriedade de matrizes diagonais.

Passo 2

Sejam
A = a & 0 & 0 0 & b & 0 0 & 0 & c e B = d & 0 & 0 0 & e & 0 0 & 0 & f ,
com a,b,c,d,e,finR. Ao calcular o produto, cada entrada diagonal de AB é o produto das entradas correspondentes de A e B, então
AB = ad & 0 & 0 0 & be & 0 0 & 0 & cf
De forma análoga,
BA = da & 0 & 0 0 & eb & 0 0 & 0 & fc
Como a multiplicação em R é comutativa, temos ad=da, be=eb e cf=fc, logo AB=BA.

Passo 3

Mostramos que para quaisquer valores dos elementos diagonais AB=BA. Portanto, qualquer par de matrizes diagonais de ordem 3 comuta.

Resposta

Verdadeiro

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