Exercício 11 - Determine se cada afirmação é verdadeira ou falsa, justificando cada resposta.
A transposta de uma matriz diagonal é, também, uma matriz diagonal.

Passo 1

O enunciado pede para avaliar a afirmação “a transposta de uma matriz diagonal é também uma matriz diagonal”. O conteúdo envolvido é noções básicas de matrizes: definição de matriz diagonal e operação de transposição.

Passo 2

Definimos uma matriz A = (aij) como diagonal se todos os seus elementos fora da diagonal principal são zero, ou seja,
aij = 0 sempre que i neq j
A transposta de A, denotada A^T, tem entrada
(A^T)ij = aji

Passo 3

Analisando as entradas de A^T:
  • Se i neq j, então (A^T)ij = aji. Mas, como em A temos jneq i, segue que aji=0. Logo, todo elemento fora da diagonal de A^T é zero.
  • Se i = j, então (A^T)ii = aii, que pode ser não nulo, mas fica na diagonal principal.

Passo 4

Como em A^T só aparecem zeros fora da diagonal principal, concluímos que A^T é também uma matriz diagonal.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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