Exercício 11 - Determine se cada afirmação é verdadeira ou falsa, justificando cada resposta.
A transposta de uma matriz diagonal é, também, uma matriz diagonal.
A transposta de uma matriz diagonal é, também, uma matriz diagonal.
Passo 1
O enunciado pede para avaliar a afirmação “a transposta de uma matriz diagonal é também uma matriz diagonal”. O conteúdo envolvido é noções básicas de matrizes: definição de matriz diagonal e operação de transposição.
Passo 2
Definimos uma matriz
como diagonal se todos os seus elementos fora da diagonal principal são zero, ou seja,
A transposta de
, denotada
, tem entrada
Passo 3
Analisando as entradas de
:
- Se
, então . Mas, como em temos , segue que . Logo, todo elemento fora da diagonal de é zero. - Se
, então , que pode ser não nulo, mas fica na diagonal principal.
Passo 4
Como em
só aparecem zeros fora da diagonal principal, concluímos que
é também uma matriz diagonal.
Resposta
A afirmação é verdadeira.