Exercício 11 - Determine se cada afirmação é verdadeira ou falsa, justificando cada resposta.
Se A e B são matrizes quadradas de ordem n tais que A B=0n times n, então A=0n times n ou B=0n times n.

Passo 1

O enunciado pergunta se em Mn(Bbbk)𝕜 (o anel das matrizes quadradas de ordem n sobre um corpo Bbbk𝕜) vale a implicação
A B = 0ntimes n Longrightarrow A = 0ntimes n;ou;B = 0ntimes n
O conteúdo aqui é reconhecer que Mn(Bbbk)𝕜 não é um domínio (há divisores de zero), então basta dar um contraexemplo.

Passo 2

Considere o caso n=2 e defina
A = 1 & 0[6pt]0 & 0, B = 0 & 0[6pt]0 & 1
Ambas são matrizes não nulas. Vamos calcular o produto:
AB = 1 & 0[3pt]0 & 0 0 & 0[3pt]0 & 1 = 1cdot0 + 0cdot0 & 1cdot0 + 0cdot1[6pt] 0cdot0 + 0cdot0 & 0cdot0 + 0cdot1 = 0 & 0[3pt]0 & 0
Logo AB=02times2 mas nem A nem B são a matriz zero.]

Passo 3

Esse contraexemplo mostra que existem \emph{divisores de zero} em Mn(k)𝕜. Ou seja, embora AB=0, podemos ter Aneq0 e Bneq0. Portanto a afirmação é falsa.

Resposta

Falsa.

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