Exercício 0.4 Determine o domínio das funções abaixo.
f(x)=\log _{3}(2 x-1)

Passo 1

O enunciado pede: determinar o domínio da função f(x)=\log_{3}(2x-1).
Informações dadas: a função é um logaritmo de base 3 aplicado à expressão 2x-1.

Passo 2

Regra fundamental sobre domínio de logaritmos: para uma função do tipo \log_{a}(u) ser definida é necessário que o argumento satisfaça
u>0.
Isto vale para qualquer base a tal que a>0 e a\neq1. Aqui a base é 3, que cumpre 3>0 e 3\neq1, então só precisamos garantir que o argumento 2x-1 seja estritamente positivo.

Passo 3

Aplicando a condição do argumento positivo ao nosso caso:
2x-1>0.

Passo 4

Resolver a desigualdade linear passo a passo. Primeiro some 1 em ambos os lados:
2x>1.
Agora divida ambos os lados por 2. Como 2 é positivo, o sentido da desigualdade não muda:
x>\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Interpretação e notação final: todos os números reais maiores que \tfrac{1}{2} são permitidos, o valor \tfrac{1}{2} é excluído porque aí o argumento seria zero e \log_{3}(0) não está definido. Em notação de intervalo:
\left(\tfrac{1}{2},\infty\right).
Um teste rápido: para x=1 o argumento é 2\cdot1-1=1>0 (ok); para x=0 o argumento é -1 (não ok).

Resposta

\left(\tfrac{1}{2},\infty\right)

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