Exercício 11. Determine a fração irredutível correspondente à expansão decimal 1,2 \overline{15}.

Passo 1

O enunciado pede para transformar a expansão decimal periódica 1,2\overline{15} em fração irredutível.
O conteúdo aqui é a conversão de decimal periódico em fração, usando um método algébrico que elimina a parte repetida.

Passo 2

Definimos
x = 1,2\overline{15} = 1,2151515\ldots
Nesta expressão, a parte não repetida após a vírgula tem k=1 dígito (o “2”) e a parte repetida tem r=2 dígitos (o “15”).

Passo 3

Multiplicamos x por 10^k = 10 para deslocar a parte não repetida para a esquerda da vírgula:
10x = 12,151515\ldots
Em seguida multiplicamos x por 10^{k+r} = 10^3 = 1000 para alinhar de novo a repetição:
1000x = 1215,151515\ldots

Passo 4

Subtraímos as duas equações para eliminar a parte periódica:
1000x - 10x = 1215,151515\ldots - 12,151515\ldots
990x = 1203
Logo
x = \frac{1203}{990}.

Passo 5

Bast a simplificar \tfrac{1203}{990}. Dividindo numerador e denominador por 3:
\frac{1203}{990} = \frac{1203\div3}{990\div3} = \frac{401}{330}.

Resposta

\displaystyle \frac{401}{330}

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