Exercício 12. Dê exemplo de um número racional r tal que 5, \overline{1}<r<5,1 \overline{2}.

Passo 1

O enunciado pede um número racional r tal que
5,\overline{1}<r<5,1\overline{2}.
O conteúdo principal é a densidade dos racionais nos reais, ou seja, entre dois reais distintos sempre existe um racional.

Passo 2

Note que \,5,\overline{1}=5,1111\ldots
e \,5,1\overline{2}=5,12222\ldots.
Basta escolhermos um decimal finito entre esses dois, por exemplo
r=5,12,
que é racional pois
5,12=\frac{512}{100}.

Passo 3

Para verificar:
5,\overline{1}=5,1111\ldots<5,1200\ldots=5,12<5,1222\ldots=5,1\overline{2},
logo de fato 5,\overline{1}<r<5,1\overline{2}.

Resposta

Um exemplo é
r=5,12=\frac{512}{100}.

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