Exercício 13. Diga quais das afirmações são verdadeiras ou falsas, justificando a sua resposta:
(a) 4+\sqrt{7} é um número irracional.
(b) O número 3,45 é racional.
(c) O número 2, 333 \ldots é irracional.
(d) \sqrt{3}-1<\frac{7}{10}+\sqrt{2}.

Passo 1

O enunciado apresenta quatro afirmações sobre números racionais e irracionais e uma desigualdade com raízes quadradas. Para resolvê-lo, vamos usar a definição de número racional (que pode ser escrito como \tfrac{p}{q} com p,q\in\mathbb{Z}, q\neq0) e de número irracional (não pode ser expresso nessa forma), além de saber que todo decimal finito ou periódico é racional. Também faremos aproximações numéricas para comparar a desigualdade da parte (d).

Passo 2

Definição e propriedades básicas:
  1. Um número é racional se e somente se pode ser escrito como \tfrac{p}{q} com p,q\in\mathbb{Z}, q\neq0.
  2. Um número é irracional se não é racional.
  3. A soma de um número racional com um irracional é sempre irracional.
  4. Qualquer decimal finito (como 3,45) ou decimal periódico (como 2,333 \ldots) representa um número racional.

Passo 3

Analisando (a): “ 4+\sqrt{7} é um número irracional.”
  • Sabemos que 4 é racional e \sqrt{7} é irracional.
  • Pela propriedade 3, a soma de racional 4 com irracional \sqrt{7} é irracional.
    Logo, a afirmação (a) é verdadeira.

Passo 4

Analisando (b): “O número 3,45 é racional.”
  • O número 3,45 é um decimal finito.
  • Podemos escrevê-lo como
3,45 = \frac{345}{100},
que é uma fração com numerador e denominador inteiros.
Portanto, 3,45 é racional, e a afirmação (b) é verdadeira.

Passo 5

Analisando (c): “O número 2,333 … é irracional.”
  • O número 2,333\ldots é um decimal periódico (toda casa decimal é 3).
  • Qualquer decimal periódico é racional. Por exemplo, chamando x = 2,\overline{3}, temos
10x = 23,\overline{3}
10x - x = 23,\overline{3} - 2,\overline{3} \;\Longrightarrow\; 9x = 21 \;\Longrightarrow\; x = \frac{21}{9} = \frac{7}{3}.
  • Logo 2,\overline{3} = \tfrac{7}{3} é racional, o que torna falsa a afirmação (c).

Passo 6

Analisando (d): “ \sqrt{3}-1 < \tfrac{7}{10} + \sqrt{2}.”
  • Aproximando \sqrt{3}\approx1,732, temos
\sqrt{3}-1 \approx 1,732 - 1 = 0,732.
  • Aproximando \sqrt{2}\approx1,414, temos
\tfrac{7}{10} + \sqrt{2} \approx 0,7 + 1,414 = 2,114.
  • Claramente 0,732 < 2,114, portanto a desigualdade é verdadeira e a afirmação (d) é verdadeira.

Resposta

(a) Verdadeira
(b) Verdadeira
(c) Falsa
(d) Verdadeira

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