Exercício 13. Diga quais das afirmações são verdadeiras ou falsas, justificando a sua resposta:
(a)
é um número irracional.
(b) O número 3,45 é racional.
(c) O número 2,
é irracional.
(d)
.
(a)
(b) O número 3,45 é racional.
(c) O número 2,
(d)
Passo 1
O enunciado apresenta quatro afirmações sobre números racionais e irracionais e uma desigualdade com raízes quadradas. Para resolvê-lo, vamos usar a definição de número racional (que pode ser escrito como
com
,
) e de número irracional (não pode ser expresso nessa forma), além de saber que todo decimal finito ou periódico é racional. Também faremos aproximações numéricas para comparar a desigualdade da parte (d).
Passo 2
Definição e propriedades básicas:
- Um número é racional se e somente se pode ser escrito como
com , . - Um número é irracional se não é racional.
- A soma de um número racional com um irracional é sempre irracional.
- Qualquer decimal finito (como 3,45) ou decimal periódico (como 2,333
) representa um número racional.
Passo 3
Analisando (a): “
é um número irracional.”
- Sabemos que
é racional e é irracional. - Pela propriedade 3, a soma de racional
com irracional é irracional.
Logo, a afirmação (a) é verdadeira.
Passo 4
Analisando (b): “O número 3,45 é racional.”
- O número
é um decimal finito. - Podemos escrevê-lo como
que é uma fração com numerador e denominador inteiros.
Portanto, é racional, e a afirmação (b) é verdadeira.
Portanto,
Passo 5
Analisando (c): “O número 2,333 … é irracional.”
- O número
é um decimal periódico (toda casa decimal é ). - Qualquer decimal periódico é racional. Por exemplo, chamando
, temos
- Logo
é racional, o que torna falsa a afirmação (c).
Passo 6
Analisando (d): “
.”
- Aproximando
, temos
- Aproximando
, temos
- Claramente
, portanto a desigualdade é verdadeira e a afirmação (d) é verdadeira.
Resposta
(a) Verdadeira
(b) Verdadeira
(c) Falsa
(d) Verdadeira
(b) Verdadeira
(c) Falsa
(d) Verdadeira