Exercício 9. O denominador de uma certa fração é 1 unidade a mais do que o valor do numerador. Se o numerador aumentar de \frac{5}{2}, o valor da nova fração será igual ao inverso da fração inicial. Qual a fração inicial?

Passo 1

O enunciado diz que, chamando de x o numerador da fração inicial, o denominador vale x+1. Ou seja, a fração inicial é
\frac{x}{x+1}.
Se aumentarmos o numerador em \tfrac{5}{2}, a nova fração fica
\frac{x + \tfrac{5}{2}}{x+1},
e isso é igual ao inverso da fração inicial, que é
\frac{x+1}{x}.
Vamos usar tudo isso para montar e resolver uma equação em x.

Passo 2

Escrevendo a relação do enunciado como equação, temos
\frac{x + \tfrac{5}{2}}{x+1} \;=\;\frac{x+1}{x}.

Passo 3

Multiplicando em cruz para eliminar os denominadores:
x\bigl(x + \tfrac{5}{2}\bigr) = (x+1)^2.
Expandindo cada lado:
x^2 + \tfrac{5}{2}x = x^2 + 2x + 1.
Subtraindo x^2 de ambos os lados:
\tfrac{5}{2}x = 2x + 1.
Multiplicando tudo por 2 para ficar sem frações:
5x = 4x + 2 \quad\Longrightarrow\quad x = 2.

Passo 4

Verificamos que x\neq0 e x\neq -1 para não causar divisão por zero, e x=2 é perfeitamente válido. Logo, o numerador é 2 e o denominador é 2+1=3.

Resposta

A fração inicial é \displaystyle \frac{2}{3}.

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