Exercício 11 Determine qual ou quais das funções z1(x)=x^2, z2=x^3 e z3(x)=e^-x são soluções da equação
(x+3) y^prime prime+(x+2) y^prime-y=0
(b) Seja y1(x) uma das soluçães obtidas no item anterior. Determine uma segunda solução y2(x) de forma que y1(x) e y2(x) sejam soluções fundamentais da equação.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem
(x+3)y''+(x+2)y'-y=0
e três funções candidatas ,z1(x)=x^2, ,z2(x)=x^3 e ,z3(x)=e^-x. No item (a) vamos testar cada uma substituindo y, y' e y'' na equação e ver quais satisfazem. No item (b) escolhemos uma solução y1 obtida em (a) e, por redução de ordem, buscamos uma segunda solução y2 tal que y1,y2 seja um conjunto fundamental de soluções.

Passo 2

Testando z1(x)=x^2:
y=x^2, então
y'=2x, y''=2
Substituindo em (x+3)y''+(x+2)y'-y:
(x+3)cdot 2 + (x+2)cdot 2x - x^2 = 2x + 6 + 2x^2 + 4x - x^2 = x^2 + 6x + 6 neq 0
para x geral. Logo z1 não é solução.

Passo 3

Testando z2(x)=x^3:
y=x^3, então
y'=3x^2, y''=6x
Substituindo,
(x+3)cdot 6x + (x+2)cdot 3x^2 - x^3 = 6x^2 + 18x + 3x^3 + 6x^2 - x^3 = 2x^3 + 12x^2 + 18x = 2x(x+3)^2 neq 0
para x geral. Logo z2 não é solução.

Passo 4

Testando z3(x)=e^-x:
y=e^-x, então
y'=-e^-x, y''=e^-x
Substituindo,
(x+3)e^-x + (x+2)(-e^-x) - e^-x = l(x+3 - x - 2 - 1r)e^-x = 0
Portanto z3 é solução.

Passo 5

Como só y1(x)=e^-x funciona, buscamos y2 por redução de ordem. Colocamos a equação em forma padrão
y''+P(x)y'+Q(x)y=0, P(x)=x+2x+3
A fórmula de redução de ordem dá
y2=y1integral e^-integral P(x),dxy1^2,dx
Calculamos
integral P(x),dx =integrall(1-1x+3r)dx =x-ln|x+3|,
então
e^-integral P=(x+3)e^-x
Como y1=e^-x, temos
y2=e^-xintegral(x+3)e^-xe^-2x,dx =e^-xintegral e^x(x+3),dx =e^-xl[(x+2)e^xr] =x+2
Verifica-se fácil que y=x+2 satisfaz a equação e é linearmente independente de e^-x.

Resposta

(a) A única solução dentre as três é z3(x)=e^-x.
(b) Tomando y1(x)=e^-x, uma segunda solução independente é
y2(x)=x+2

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