Exercício 11 Determine qual ou quais das funções
e
são soluções da equação
(b) Seja
uma das soluçães obtidas no item anterior. Determine uma segunda solução
de forma que
e
sejam soluções fundamentais da equação.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem
e três funções candidatas
,
e
. No item (a) vamos testar cada uma substituindo
,
e
na equação e ver quais satisfazem. No item (b) escolhemos uma solução
obtida em (a) e, por redução de ordem, buscamos uma segunda solução
tal que
seja um conjunto fundamental de soluções.
Passo 2
Testando
:
, então
Substituindo em
:
para
geral. Logo
não é solução.
Passo 3
Testando
:
, então
Substituindo,
para
geral. Logo
não é solução.
Passo 4
Testando
:
, então
Substituindo,
Portanto
é solução.
Passo 5
Como só
funciona, buscamos
por redução de ordem. Colocamos a equação em forma padrão
A fórmula de redução de ordem dá
Calculamos
então
Como
, temos
Verifica-se fácil que
satisfaz a equação e é linearmente independente de
.
Resposta
(a) A única solução dentre as três é
.
(b) Tomando , uma segunda solução independente é
(b) Tomando