Seja a lei de Gauss na forma pontual ou diferencial, nabla cdot D=rhov, em que rhov é a densidade volumétrica de cargas [Cm^2]. a) Qual o significado físico da divergência de um campo vetorial? b) Obtenha a forma pontual da lei de Gauss a partir de sua forma integral e aplicação do teorema da divergência. Descreva todos os passos envolvidos, detalhando as superfícies e os volumes envolvidos. c) Qual a informação física é obtida a partir do cálculo da divergência do campo densidade de fluxo elétrico? d) Supondo a existência de uma fonte do campo D (ou seja, carga elétrica), a divergência de D é necessariamente diferente de zero em todo o espaço? Caso não, o que significa fisicamente a situação em que nabla cdot D=0 ?

Passo 1

O enunciado fala da lei de Gauss para o vetor densidade de fluxo elétrico D, na forma diferencial
nablacdotD=rhov,
onde rhov é a densidade volumétrica de carga livre. Precisamos:
a) entender fisicamente o que é divergência;
b) partir da forma integral
ointS Dcdot dS=Qint,
usar o teorema da divergência e chegar em nablacdotD=rhov;
c) interpretar fisicamente nablacdotD;
d) discutir se nablacdotD pode ser zero mesmo havendo cargas e o que isso significa.

Passo 2

A divergência de um campo vetorial mede, em cada ponto, a “quantidade líquida de fluxo” que nasce ou some ali por unidade de volume. Em linguagem mais técnica, se você pegar um volume muito pequeno V ao redor de um ponto e calcular
1Vointpartial VFcdot dS,
no limite Vto0, você obtém justamente nablacdotF. Se for positivo, é como se naquele ponto houvesse uma “fonte” (fluxo saindo); se for negativo, um “sumidouro” (fluxo entrando).

Passo 3

Derivação da forma pontual a partir da integral:
  1. A lei de Gauss integral para D diz que, em qualquer superfície fechada S que envolve um volume V, ointS Dcdot dS = Qint
  2. A carga interna é Qint = integralV rhov,dV
  3. Pelo teorema da divergência (Gauss–Ostrogradski), ointS Dcdot dS = integralV l(nablacdotDr),dV
  4. Igualando os dois integrandos sobre o mesmo volume V: integralV l(nablacdotDr),dV = integralV rhov,dV
  5. Como V é arbitrário, os valores sob o integral devem coincidir ponto a ponto, o que leva à forma diferencial nablacdotD = rhov

Passo 4

Fisicamente, calcular nablacdotD num ponto dá a densidade de carga livre naquele ponto. Ou seja, ele nos diz onde existem “fontes” ( rhov>0) ou “sumidouros” ( rhov<0) de linhas de campo elétrico.

Passo 5

Mesmo existindo uma fonte de D (carga elétrica em algum lugar), em regiões do espaço onde não há carga livre local, rhov=0 e portanto
nablacdotD=0
Isso significa que nessas regiões não há criação nem destruição de fluxo elétrico: as linhas de D entram e saem balanceadas, sem “nascer” nem “morrer” ali.

Resposta

a) A divergência mede a taxa de fluxo líquido por unidade de volume num ponto, indicando fontes (positiva) ou sumidouros (negativa) do campo.
b) Partindo de ointSDcdot dS= integralVrhov,dV e aplicando o teorema da divergência ointSDcdot dS=integralV(nablacdotD),dV, igualamos os integrandos em todo volume arbitrário, chegando em nablacdotD=rhov.
c) nablacdotD é exatamente a densidade volumétrica de carga livre no ponto, ou seja, a intensidade de fonte ou sumidouro de linhas de campo.
d) Não: em regiões sem carga livre temos rhov=0 e nablacdotD=0, o que significa que ali não há nem criação nem destruição de fluxo elétrico.

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