Seja a lei de Gauss na forma pontual ou diferencial,
, em que
é a densidade volumétrica de cargas
. a) Qual o significado físico da divergência de um campo vetorial? b) Obtenha a forma pontual da lei de Gauss a partir de sua forma integral e aplicação do teorema da divergência. Descreva todos os passos envolvidos, detalhando as superfícies e os volumes envolvidos. c) Qual a informação física é obtida a partir do cálculo da divergência do campo densidade de fluxo elétrico? d) Supondo a existência de uma fonte do campo
(ou seja, carga elétrica), a divergência de
é necessariamente diferente de zero em todo o espaço? Caso não, o que significa fisicamente a situação em que
?
Passo 1
O enunciado fala da lei de Gauss para o vetor densidade de fluxo elétrico
, na forma diferencial
onde
é a densidade volumétrica de carga livre. Precisamos:
a) entender fisicamente o que é divergência;
b) partir da forma integral
a) entender fisicamente o que é divergência;
b) partir da forma integral
usar o teorema da divergência e chegar em
;
c) interpretar fisicamente ;
d) discutir se pode ser zero mesmo havendo cargas e o que isso significa.
c) interpretar fisicamente
d) discutir se
Passo 2
A divergência de um campo vetorial mede, em cada ponto, a “quantidade líquida de fluxo” que nasce ou some ali por unidade de volume. Em linguagem mais técnica, se você pegar um volume muito pequeno
ao redor de um ponto e calcular
no limite
, você obtém justamente
. Se for positivo, é como se naquele ponto houvesse uma “fonte” (fluxo saindo); se for negativo, um “sumidouro” (fluxo entrando).
Passo 3
Derivação da forma pontual a partir da integral:
- A lei de Gauss integral para
diz que, em qualquer superfície fechada que envolve um volume , - A carga interna é
- Pelo teorema da divergência (Gauss–Ostrogradski),
- Igualando os dois integrandos sobre o mesmo volume
: - Como
é arbitrário, os valores sob o integral devem coincidir ponto a ponto, o que leva à forma diferencial
Passo 4
Fisicamente, calcular
num ponto dá a densidade de carga livre naquele ponto. Ou seja, ele nos diz onde existem “fontes” (
) ou “sumidouros” (
) de linhas de campo elétrico.
Passo 5
Mesmo existindo uma fonte de
(carga elétrica em algum lugar), em regiões do espaço onde não há carga livre local,
e portanto
Isso significa que nessas regiões não há criação nem destruição de fluxo elétrico: as linhas de
entram e saem balanceadas, sem “nascer” nem “morrer” ali.
Resposta
a) A divergência mede a taxa de fluxo líquido por unidade de volume num ponto, indicando fontes (positiva) ou sumidouros (negativa) do campo.
b) Partindo de e aplicando o teorema da divergência
, igualamos os integrandos em todo volume arbitrário, chegando em
.
c) é exatamente a densidade volumétrica de carga livre no ponto, ou seja, a intensidade de fonte ou sumidouro de linhas de campo.
d) Não: em regiões sem carga livre temos e
, o que significa que ali não há nem criação nem destruição de fluxo elétrico.
b) Partindo de
c)
d) Não: em regiões sem carga livre temos